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为什么这种手动双线性变换会产生与 Matlab 不同的结果？

信息处理过滤器 matlab

2022-01-01 11:56:13

我有一个截止频率为的一阶巴特沃斯滤波器。那么它的传递函数是 $\omega_c$

H (s) = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}}

$H(s) = \frac{\omega_c}{s+\omega_c}$

使用双线性变换找到（该函数叫什么？），我得到 $H(z)$

H (z) = \frac{ω_{c}}{\frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} + ω_{c}} = \frac{ω_{c} z + ω_{c}}{(\frac{2}{T} + ω_{c}) z + ω_{c} - \frac{2}{T}}

$H(z)=\frac{\omega_c}{\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} + \omega_c} = \frac{\omega_c z + \omega_c}{\left(\frac{2}{T}+\omega_c\right)z + \omega_c-\frac{2}{T}}$

但是，我无法将这个结果与 Matlab 正在做的事情相协调。无论的值是多少，这似乎都是错误的。我假设和以下是的系数。 $T$ BA $H(z)$

>> [B,A] = butter(1,0.5)
B = 0.5000    0.5000
A = 1.0000   -0.0000
>> [B,A] = butter(1,0.6)
B = 0.5792    0.5792
A = 1.0000    0.1584
>> [B,A] = butter(1,0.7)
B = 0.6625    0.6625
A = 1.0000    0.3249
>> [B,A] = butter(1,0.8)
B = 0.7548    0.7548
A = 1.0000    0.5095

我有什么误解？

2个回答

几件事：

在进行替换之前，您需要通过进行替换来预先扭曲截止频率： $s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$

ω_{c, w} = \frac{2}{T} \tan (ω_{c} \frac{T}{2})

$\omega_{c,w} = \frac{2}{T} \tan (\omega_c\frac{T}{2})$

其中是弯曲的截止频率。这是必要的，因为双线性变换将拉普拉斯域（用于模拟滤波器设计）中的左半平面以非线性方式映射到域中的单位圆。因此，当您接近奈奎斯特速率（的数字频率）时，模拟滤波器原型的近似值变得不准确。 $\omega_{c,w}$ $z$ $\pm \pi$

此外，您传递给butter函数的第二个参数是归一化截止频率，而不是采样间隔。该函数使用的归一化频率在区间内，等于所需截止频率与奈奎斯特速率的比率： $T$ $(0,1)$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{2 π \frac{f_{s}}{2}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{2 \pi \frac{f_s}{2}}$

ω_{n} = \frac{ω_{c}}{π f_{s}}

$\omega_n = \frac{\omega_c}{\pi f_s}$

ω_{n} = \frac{ω_{c} T}{π}

$\omega_n = \frac{\omega_c T}{\pi}$

打开 MATLABbutter函数的代码时，我们看到它使用了频率预变形：

%# step 1: get analog, pre-warped frequencies
if ~analog,
    fs = 2;
    u = 2*fs*tan(pi*Wn/fs);
else
    u = Wn;
end

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