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如何找到信号的导数和二阶导数的平滑估计？

信息处理过滤器平滑

2022-01-05 12:35:13

我有一个采样的信号 $\Delta t$ ： $f_i(t_i=i\Delta t)$ 在哪里 $i = 0,\ldots,n-1$ . 我想找到信号的一阶和二阶导数： $f'(t)$ 和 $f''(t)$ .

我的第一个想法是通过中心差异来估计导数：

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

然而，信号可能有很多高频噪声，可能会导致快速波动 $f'$ 和 $f''$ .

找到“平滑”估计的最佳方法是什么 $f'$ 和 $f''$ ?

2个回答

这可能更多地取决于您的数据。要知道，由于微分是线性运算，如果您选择任何线性滤波器来平滑 f' 和 f''，它相当于使用相同的滤波器平滑 f，然后取其导数。

您能否发布一些有关您想要区分的信号的图片或更多信息？可能您正在寻找的是某种低通滤波器来平滑信号。几个非常简单的选项包括一个单极递归滤波器，如 $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$ , 或 Hann 滤波器，它只是将信号与 Hann 窗口进行卷积。Hann 滤波器选项很好，因为它是线性相位的。如果您知道您关心的频率范围，您可以在频域中设计一个合适的低通滤波器。

Savitzky-Golay滤波器提供信号和前几个导数的平滑估计。

可以在此处找到 MATLAB 实现。

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