我将首先回答问题 2，希望这将有助于解释问题 1 的情况。

当您对基带信号进行采样时，在采样频率的所有整数倍处都存在基带信号的隐含混叠，如下图所示。 实线图像是原始基带信号，混叠图像由虚线图像表示。我选择了一个不对称（即复杂）信号来帮助演示在奇数倍的采样频率处发生的反转。

你可能会问，“别名真的存在吗？” 这是一个有点哲学的问题。是的，在数学意义上它们确实存在，因为所有的别名（包括基带信号）彼此无法区分。

当您通过在原始样本之间插入零来进行上采样时，您实际上是通过上采样率增加了采样率。因此，如果您将采样率提高 2 倍（在每个样本之间放置一个零），您会将采样率和奈奎斯特率提高 2 倍，从而得到下图。

如您所见，早期图像中的隐式别名之一现在变得显式了。如果您对样本进行 FFT，它将显示出来。下面给出了 DFT 变换没有根本变化的非严格证明。

现在您有了两个显式别名，如果您只想要基带别名，那么您必须低通滤波器以摆脱另一个别名。不过，有时人们会使用其他别名为他们进行调制。在这种情况下，您将使用高通滤波器来去除基带信号。我希望能回答问题 2。

问题 1 基本上是问题 2 的反面。假设您已经处于第二张图片所示的情况。有两种方法可以获得所需的基带信号。第一种方法是低通滤波器（从而摆脱较高的别名），然后抽取两倍。这让你看到了#1。

第二种方法是高通滤波器（去除基带别名），然后以两倍抽取。这样做的原因是您故意将信号混叠到基带中，因此再次让您看到图片#1。

你为什么要那样做？因为在大多数情况下信号不会相同，所以您可以选择您想要的信号，或者分别进行。

如果您正在研究多速率处理，我强烈建议您阅读 Frederic Harris 的“用于通信系统的多速率信号处理”。他在不忽略数学的情况下很好地解释了理论，并提供了很多实用的建议。

编辑：故意以低于奈奎斯特速率对信号进行采样称为欠采样。以下是我试图从数学上解释为什么上采样时 FFT 不会改变的尝试。“x[n]”是原始样本集，“u”是上采样因子，“x'[n]”是上采样样本集。

$$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$$

为丑陋的格式道歉。我是乳胶菜鸟。

编辑 2：我应该指出 x[n] 和 x'[n] 的 DFT 并不完全相同。采样率更高，正如我在答案的前面部分中解释的那样，导致别名“暴露”。我试图以我非数学家的方式指出，除了采样率之外，DFT 是相同的。