信息处理 - 高斯噪声下卡尔曼估计的统计性质 - 吾爱随笔录

高斯噪声下卡尔曼估计的统计性质

信息处理卡尔曼滤波器

2022-01-12 16:57:08

对于具有独立高斯状态和输出噪声以及初始状态的完美猜测的线性状态空间模型，卡尔曼估计是否具有以下性质：

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$ 在哪里

$x_k$ 是当时的状态 $k$ , 这是随机的
$\hat{x}_{k|k}$ 和 $P_{k|k}$ 是卡尔曼估计，即卡尔曼滤波器的输出。

有没有提到这些的参考资料？

谢谢！

2个回答

以下两个语句相当于说：

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) 估计量是无偏的；和

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) 估计量是一致的。

为了使过滤器达到最佳状态，这两个条件都是必要的——即可能的最佳估计 $\mathbf{x}_{k|k}$ 关于某些标准。

如果 (1) 不成立，则均方误差 (MSE) 将是偏差加上方差（在标量情况下）。显然，这仅大于方差，因此不是最理想的。

如果 (2) 不成立（即滤波器计算的协方差与真实协方差不同），那么滤波器也将是次优的。由于卡尔曼增益是基于计算的状态协方差，协方差的误差会导致增益的误差。增益误差意味着测量的次优加权。

（碰巧，对于正确建模的滤波器，这两个条件都是正确的。建模中的错误，例如动态模型或噪声协方差也会导致滤波器次优）。

资料来源：Bar-Shalom，尤其是第 232-233 页的第 5.4 节。

需要注意的是 $x_k$ 不是随机变量。系统的状态是确定性的，通常是可变的 $k$ .

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$ 这相当于说

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

还，

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

和，

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ 其中，鉴于

x_{k}

$x_k$ 是确定性的，恰好也等于

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

背景

$x_k$ 是确定性的系统状态。这与系统噪声相反，系统噪声在大多数文献中表示为 $w$ 有方差 $Q$ . 更重要的是，一些文献使用系数矩阵对系统噪声进行建模；在这种情况下 $Q$ 矩阵被替换为 $GQG^T$ 在传播估计中，其中 $G$ 是噪声系数矩阵。详细地说，在这种情况下，系统表示由下式给出：

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

作为参考：卡尔曼本人的论文：http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

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