信息处理 - 为什么周期图中有梳状的山丘？ - 吾爱随笔录

为什么周期图中有梳状的山丘？

信息处理频率响应

2022-01-10 18:25:35

我正在玩periodogramMATLAB。我创建了一个简单的脚本来观察它的行为：

rng(1);  %# initialize the random number generator

Fs = 1000;  %# Sampling frequency
duration = 0.1; %# seconds

A = 1; %# Sinusoid amplitude
f = 150; %# Sinusoid frequency
eps = 0.01;

t = 0:1/Fs:duration;
x = A * sin(2*pi*f*t) + eps * randn(size(t));

periodogram(x,[],1024,Fs);

在此处输入图像描述

我对代码没有问题，可以使用文档中给出的算法编写自己的periodogram函数，但我想知道不是 150 Hz 的梳状山丘背后的理论原因。我能得到什么而不是得到超过 150 Hz 的单个尖峰？这些山峰的距离有什么特别之处吗？

2个回答

理论上，单个尖峰（如您所说）仅出现在无限长的正弦曲线上。由于您的信号长度为 100 个样本，因此它不是无限的。实际上，您将无限信号与一个窗口相乘，该窗口在 100 个样本上的值为 1，在其他地方为 0。由于时域中的乘法相当于频域中的卷积，因此您的频谱是单个尖峰和窗口频率响应的卷积（顺便说一句，它称为矩形窗口）。这就是你得到的功能。

我建议您阅读有关窗口的信息：http ://en.wikipedia.org/wiki/Window_function

我对 Itamar Katz 的回答并不完全满意，所以这是我的解释。

长度的复信号的 DFT是 $N$ $x[n]=e^{\imath 2\pi f n/N}$

X [k] = F {x [n]} = \frac{e^{ı 2 π (f - k)} - 1}{e^{ı 2 π (f - k) / N} - 1}

$X[k]=\mathcal{F}\{x[n]\}=\frac{e^{\imath 2\pi (f-k)}-1}{e^{\imath 2\pi (f-k)/N}-1}$

因此，功率或幅度平方响应由下式给出

{| X [k] |}^{2} = {(\frac{\sin (π (f - k))}{\sin (π (f - k) / N)})}^{2}

$\left\vert X[k]\right\vert^2 = \left(\frac{\sin\left(\pi(f-k)\right)}{\sin\left(\pi(f-k)/N\right)}\right)^2$

如您所见，只要是整数，上述表达式就为零。您可以说服自己，分母仅在某一点为零，此时，取限制会为您提供的比率值。因此，没有任何时候表达会爆炸。 $f-k$ $N^2$

现在，当您获取上述表达式的对数时，是（或者就此而言，在任何基础上），因此您在任何有零的地方都会得到空值。这就是在你的情节中导致“像山一样梳子”的原因。 $log_{10}(0)$ $-\infty$

这是 Mathematica 中的一个简短说明：

Clear@X
X[f_, n_] := (Sin[π (f - #)]/Sin[π (f - #)/n])^2 &
Plot[X[3, 10][k], {k, -5, 5}, PlotRange -> All]

在此处输入图像描述

频率在 x 轴上，功率（线性）在 y 轴上。您可以看到零出现在整数值处，峰值出现在 3 处，这是我选择的频率。现在取，你会得到空值，这会产生梳状结构 $log_{10}$

在此处输入图像描述

这是另一个具有更大的示例，显示更多空值。 $N$

在此处输入图像描述

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