信息处理 - 由于 DTFT 和 DFT 的窗口“不同”而导致的频谱泄漏？ - 吾爱随笔录

由于 DTFT 和 DFT 的窗口“不同”而导致的频谱泄漏？

信息处理频谱窗函数

2021-12-25 20:19:54

我目前正在尝试提高我对窗口化导致的频谱泄漏的基本理解。我读的越多，我就越开始认为“窗口频谱泄漏”可能意味着两个完全不同的事情，具体取决于您是在谈论 DTFT 还是 DFT。我希望能对我所讨论的内容进行确认/澄清。

对于 DTFT，这种变换本质上是离散信号的等效傅里叶变换。该变换假定信号是周期性的，并且该周期是无穷大的。关于加窗，由于您将离散信号与某个窗函数相乘，因此会引起频谱泄漏。频域中的相应卷积导致的频谱被涂抹或“泄漏”。 $x[n]$ $w[n]$ $X[f]$
现在转向 DFT，由加窗引起的频谱泄漏的想法似乎是一个完全不同的概念。与 DTFT 不同，DFT 假设信号是周期性的（该周期小于无穷大）。在这种情况下，如果收集到的信号不包含数字频率的整数倍点（即如果您有一个采样率为样本 /信号），则会发生频谱泄漏。秒，并收集 $3\textrm{ Hz}$ $10$ $18$ 样品，您将有光谱泄漏）。因此，如果您以无法“完成”一个完整周期的间隔记录正弦波，则下一个周期将重新开始，并且信号中将出现不连续性。虽然这是有道理的，你会诱导“错误”频率或泄漏频率，但它似乎与 DTFT 的卷积概念完全不同。

我的主要问题：

“窗口频谱泄漏”是否完全取决于上下文（DTFT 与 DFT）？
此外，是否可以肯定地说每种情况引起的频谱泄漏彼此分开？例如，DTFT 的频谱泄漏是由频率卷积引起的，而 DFT 的频谱泄漏是由周期性假设引起的？还是有什么东西把这两件事联系在一起？

2个回答

频谱泄漏的概念不依赖于上下文，对于 DTFT 和对于 DFT 来说是一样的。记住有限长度序列的 DFT 等于相同序列的 DTFT 的采样版本可能会有所帮助：

\begin{aligned} X (ω) & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j n ω} (DTFT) \\ \tilde{X} [k] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j n \frac{2 π k}{N}} (DFT) \end{aligned}

$\begin{align}X(\omega)&=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jn\omega}\qquad\text{(DTFT)}\\ \tilde{X}[k]&=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jn\frac{2\pi k}{N}}\qquad\text{(DFT)}\end{align}$

显然我们有

\tilde{X} [k] = X (\frac{2 π k}{N})

$\tilde{X}[k]=X\left(\frac{2\pi k}{N}\right)$

现在假设我们有两个带有矩形窗口的正弦信号，这样在一种情况下，窗口内有整数个周期，而在另一种情况下则没有：

在这两种情况下，由于加窗过程，我们都会出现频谱泄漏。然而，在第一种情况下，由 DFT 计算的 DTFT 的样本都在 DTFT 的零点处（除了一个正弦频率的样本）。这不是第二个信号的情况。这意味着在第一种情况下，由于采样过程，DFT 不会“看到”频谱泄漏，但在另一种情况下，在 DFT 中也可以看到频谱泄漏。

这两种情况如下图所示。DTFT 显示为蓝色，对应的 DFT 显示为红色：

不，并非总是如此。它们都可以是矩形（或其他）窗口的结果。现实世界数据的任何 DFT 通常都意味着一个默认窗口，因为实际时间起源是数十亿年前，希望时间会再持续数十亿年。大多数 DFT 的长度要短得多（因此是加窗的）。并非所有来自现实世界的现象都是绝对周期性的。

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