我的直觉是，很难得出您期望找到的正确决策阈值：

$$\tau = \frac{1}{2}\left(\mu_0 + \mu_1\right) - \frac{\sigma^2}{\lVert\mu_0 - \mu_1\rVert^2} \log \frac{\pi}{1 - \pi}\left(\mu_0 - \mu_1\right)$$

根据您正在考虑的全球统计数据（样本平均值：$\pi \mu_0 + (1 - \pi) \mu_1$; 标准偏差：更复杂的表达式，但我怀疑它会涉及日志）。

我会这样解决问题：

1. 如果假设$\sigma$小可以制作

   我提到这一点，因为请记住，决策阈值受$\pi$除非$\sigma$足够高以允许两个类重叠。如果$\mu$s 相距不止几个$\sigma$，类先验概率在决策过程中无话可说！

   • 对您的观察结果运行 k-means ($\sigma$很小并且由两个类共享，因此在这种情况下，k-means是混合模型的 EM）。如果您只想对这些观察结果进行二值化而没有其他数据，您可以在此处停止。
   • 如果您有新的观察要二值化，并且您知道它们是由相同的过程生成的，您可以使用 k-means 在您的训练数据上找到的类质心作为$\mu$，并使用中间作为决策阈值。

2. 如果没有关于$\sigma$可以制作

   • 对您的训练数据运行 EM 算法（具有合并的对角协方差）。使用推断的“软类成员”变量来二值化您的观察。
   • 计算决策阈值$\tau$从 EM 给出的参数中对同一过程生成的新数据进行二值化。

总而言之，您有两个具有未知参数的分布和一个可能源自任一随机过程的测量。这通常被称为数据关联问题，并且在跟踪社区中非常普遍且被广泛研究。您可以考虑使用概率数据关联过滤器 (PDAF) 或多假设跟踪 (MHT) 算法。这应该为您提供每个分布的均值和方差的估计值。
或者，由于您的噪声是白噪声和高斯噪声，因此 ML、MAP 和 MMSE 都是等效的，并且可以通过最小化均方误差（成本函数）来找到，正如前面的响应所有效描述的那样。我会使用动态编程方法来找到成本函数的最小值。这应该比前面描述的 EM/聚类方法更简单（在计算上）。还有一点评论：PDAF 是递归的。鉴于简单的信号模型，它应该非常有效地工作，并且我期望它只是 EM 算法计算复杂度的一小部分。祝你好运，-B

1980 年代中期，Kittler 和 Illingworth 提出了一种算法，称为“最小误差阈值”，可以解决高斯分布的这个问题。最近 Mike Titterington（格拉斯哥大学）和 JH Xue（现就职于伦敦大学学院）已将其置于更正式的统计框架中，请参阅他们的联合期刊出版物。