如果信号在被分析的时间窗口（“分析窗口”）之外为零值，则离散傅里叶变换(DFT)会在谐波频率处对信号的离散时间傅里叶变换(DTFT) 进行精确采样。DTFT 意味着没有时域周期性。如果我们应用有限支持信号约束，则从两个变换的定义中可以明显看出 DFT 对 DTFT 的采样：

$$\text{DTFT:}\quad X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}$$

如果$x[n] = 0$对于所有$n$使得$n < 0$或$n \ge N$（有限支持信号约束），则：

$$= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-i \omega n}$$

两个变换的频率变量由相关，所以：$\omega = \frac{2\pi}{N}k$

$$= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \,e^{-\frac {i 2\pi}{N}kn}$$

这与 DFT 的定义相同：

$$\text{DFT:}\quad X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-\frac {i 2\pi}{N}kn}$$

选择更长的窗口（更大的）使 DFT 能够更密集地对 DTFT 进行采样。$N$

对于在分析窗口之外具有非零值的信号，仅对窗口进行分析相当于先将信号乘以一个矩形窗口，然后使用 DFT 对该窗口信号的 DTFT 进行采样。还有其他窗口函数可能对信号类型和特定分析任务具有更有利的特性，从而允许隔离感兴趣的瞬态而不会在时域中出现太多失真或在频域中出现拖尾。

快速傅里叶变换 (FFT) 经常被使用，因为它的计算速度非常快，即使分解为谐波正弦曲线可能并不总是描述信号的最佳方式。

傅里叶变换是多用途工具。虽然它们非常适合“固定”信号，但有几种方法可以在不同的环境中使用它们。

考虑一个点的 DFT。直到一个比例因子（对于正交性），它包含在矩阵中。它计算的东西本质上（感谢 robert bristow-johnson）与 点的平均值和点的差异成正比。前者平滑噪声区域，后者可用于区分信号并检测某些类型的瞬变。通过将其与二次采样相结合，您可以在不同的尺度上使用它并获得 (Haar) 小波，这是瞬态的另一种工具。我承认这不是傅里叶的经典用法。以下是使用傅立叶处理瞬态的其他四种方法：$2$$F_2=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$2$$2$

• 计算傅里叶域中有趣的瞬态参数，例如傅里叶系数衰减，这可能取决于瞬态模型、幅度和相位的变化，
• 使用滑动窗口 DFT及其化身跟踪一些频率，
• 并行比较光谱，计算不同长度，
• 构建时频表示（短期傅立叶变换）以更好地提取频率随时间的变化。

选项很多。选择取决于您要分析的瞬态类型以及您可以负担的计算/内存资源。

你说的对。与时域分析甚至小波分析相比，傅里叶变换对于分析瞬态信号没有用处。

瞬态信号分析是一项复杂的工作。

然而，请记住，信号中的所有信息都在傅里叶变换中重新定义，尽管形式非常难以解释。

更好的工具应该能够在其输出中更明显地显示任何瞬态特征，而傅里叶变换则不会；与它很好地显示周期性信息的情况不同。

这取决于您的应用程序。“瞬态”一词对不同的人意味着不同的事物。分析电力线打嗝与观察海豚鸣叫不同。

可以认为稳态信号的启动是有意义的。

您还有复杂的声音场景，其中存在稳态信号的瞬态，其中 DFT 的差异非常明显。

还可以设置 DFT，以便您拥有大量的时间带宽覆盖范围，如果您对先验瞬态知之甚少，这将很有用。

一些瞬变，如蝙蝠啁啾，具有几乎“fm”的谐波特性，具有有趣的 STFT 图。