定性解释的底线：傅立叶变换是我们的任意信号$x(t)$与所有频率的相关性，每个频率以复指数形式给出：$e^{j\omega t}$（这是大小为 $1$和角度$\omega t$的旋转相量）。这适用于$x(t)$就像在 OP 的案例中一样真实或复杂。相关计算的一般形式（我们在信号处理中的很多地方看到：匹配滤波器接收器、维特比解码，是的傅里叶变换！）是复共轭积的积分（或离散信号中积的总和） ，并且这样的计算在存在白平稳噪声的情况下将具有最小的噪声。下面将对此进行更详细的解释，希望能提供更直观的理解。这种相关性将在存在白噪声的情况下最大化每个$\omega$的频率和相位估计（但在存在其他噪声类型的情况下可能不一定提供最佳估计）。
详细信息：实际上，一旦$e^{j\omega t}$
的形式之谜得到解决，我发现用正弦和余弦描述的傅里叶变换更加繁琐，而用指数表示的表达式非常直观。
以下是一些主要内容：
首先，表达式$Ke^{j\phi}$只是具有实数$K$和实角$\phi$的复相量可能并不明显。所以$Ke^{j\phi} = K\angle\phi$。
接下来，同样重要的是，将单个傅里叶频率音调视为单个旋转相量，而不是正弦曲线，以恒定速率和恒定幅度旋转。在我看来，这实际上会使一切变得容易得多。类似于自行车车轮旋转，其中频率是它的旋转速率，以每秒周期数为单位；我们还将得到有符号频率来表示旋转方向：如果相量逆时针旋转；这是一个正频率。如果相量顺时针旋转，这是一个负频率。这与将瞬时频率定义为相位的时间导数是一致的：相位变化与时间变化的关系。
下图展示了这一点，我们看到相量在复平面上逆时针旋转（“I”是同相或实轴，“Q”是正交或虚轴）。
现在欧拉在$\cos(\omega t)$、$\sin(\omega t)$和$e^{j \omega t}$之间的关系应该更有意义了；例如，我们现在可以看到如何：
$$2\cos(\omega t) = e^{j\omega t} + e^{-j \omega t}$$
这些只是以相等速率和相反相位（正频率和负频率）旋转的两个相量相加在一起。当您添加两个相量时，角度会取消，或以图形方式放置在另一个末端的相量上，如下面的绿色所示。在任何一种情况下，结果都是始终为实数的余弦（沿实轴来回振荡）。
两个函数的相关度量的一般公式是复共轭积的积分：
$$corr = \int f_1(t)f_2^*(t)dt$$
共轭意味着反转相位，用“*”表示，如$x^*(t)$是$x(t)$的共轭）例如，如上所示的余弦的两个相量是共轭关系. 一个相量是另一个相量的共轭。
上面显示的相关运算具有一个奇妙的特性，即“相似”信号会在积分中增长到相对较大的数量，而噪声会通过平均显着降低。要查看“相似”信号如何增长：考虑一个同相旋转的信号（恒定频率）；如果我们将它乘以它的复共轭，我们会将它反旋转回正实轴，因此在积分中沿着实轴继续增长（因为$e^{j\omega t}e^{-j \omega t} =1$. 再举一个例子，考虑一个序列：1 -1 1 1 -1，如果我们将其与自身相乘，所有样本都将变为 1，总和（积分）将增长到 5。类似地，如果每个样本都是复数并且也有一个相位角度，如果我们将它乘以它的复共轭，我们将得到相同的结果，每个乘积为 1 并且总和增长到 5。每个样本上具有相同幅度但其他任意角度的任何其他序列都不会增长得那么大。
我们对傅里叶变换做同样的事情：
$$F(\omega) = \int x(t)e^{-j \omega t}dt$$
对于每个单一频率$\omega$，产生由$e^{j \omega t}$给出的旋转相量，我们将任意波形 x(t) 乘以复共轭$e^{-j \omega t} $和积分：我们将波形与$e^{j\omega t}$给出的每个频率相关联，并通过确定它在$x(t)$内的幅度和相位！当我们重复扫描每个感兴趣的$\omega$时，我们得到了所有频率的完整频谱。这就是傅里叶变换。
然后 OP 继续询问，并在评论中再次询问为什么选择相同的$\omega$将使给定相位角的结果与任何其他$\omega$相比最大化。考虑下图详述的欧拉给出的完整关系，作为我尝试使$e^{j\omega t}$更直观的延续：
因此，当我们与$e^{j \omega t}$相关时，我们正在与实部和虚部（余弦和正弦）相关，从而产生一个复杂的结果，其角度将是该音调在$x中的角度(t)$！
$$F(\omega) = \int x(t)e^{-j \omega t}dt$$
$$= \int (x_i(t)+jx_q(t))(\cos (\omega t) + j\sin(\omega t)dt $$
如果我们将实部和虚部相乘，我们会看到当实音移动任何相位角时 ( $cos(\omega_o t + \phi)$，将其与 $e^{j\omega t}$相关联将当任何$\phi$的$\omega = \omega_o$时，都有一个最大幅度，并且相关性的结果复数输出（上面的实部和虚部）将处于相同的角度！
对于 OP 的问题$x(t)$是真实的情况，上述简化为：
$$F(\omega) = \int (\cos(\omega t - \phi))(\cos (\omega t) + j\sin(\omega t)dt $$
$$ = \int \cos(\omega t - \phi)\cos (\omega t) dt + j \int \cos(\omega t - \phi)\sin (\omega t) dt$$
我宁愿不使用正弦和余弦表示，即使在我自己的脑海中也能理解正在发生的事情，而是将$e^{j\omega_o t}$本身视为单个旋转相量。如果我们的信号$x(t)$也只是在$e^{j\omega_o t}$处的单个自旋相量，那么当我们做复共轭积时：$x(t)e^{-j\omega_o t} = e^{j\omega_o t}e^{-j\omega_o t} = e^{j0} = 1$ !! 我在底部的链接中以图形方式显示了这一点，但是在$x(t)$没有添加相位的情况下，我们在所有样本处旋转到实轴$(1)$，我们在时间段$T$上对其进行积分，导致$T$的最大结果没有虚项，所以它是$T\angle 0$。如果我们再对$x(t)$加上相位旋转得到$e^{j\omega_o t + \phi}$乘积变为$x(t)e^{-j\omega_o t} = e^{ j\omega_o t + \phi}e^{-j\omega_o t} = e^{j\phi} = 1\angle \phi$。这也将增长到相同的量级$T$但与角度$\phi$因此我们的输出是复杂的实部和虚部，我们也可以用正弦和余弦来达到很长的路（在我们的脑海中）。您可以通过使用正负频率音调（ $e^{j\ omega_o t + \ phi}$ AMD$e^{-(j\omega_o t + \phi)}$ )。我在下面给出的链接中以图形和直观的方式展示了这一切。
然后查看相关过程本身如何最大化$e^{j\omega t}$信号的 SNR 的更多详细信息（在白噪声条件下是这样），请参阅我在这篇文章中的回复，其中包括显示当我们稍微偏离$\omega_o$时相关性如何下降：
最佳匹配滤波器的推导 - 卷积与相关
