请帮助我理解数据的平滑。这是对我之前在此处发布的问题的跟进。特别是 Junuxx 的最佳答案，他说平滑函数 的方法是：
在这里我们可以看到，对于 中的每个点，我们对该点及其两个相邻点进行加权平均，以获得 的平滑版本，称为 $f'[t]美元。
一篇关于语音增强的论文解释了以下形式的方程
帮助我们将 y 的值作为 x 的递归平滑。这里 充当平滑参数，它本身计算为
其中 在别处计算，alpha 是一个常数。、 和 都是具有 个元素的数组。
如何将 的方程与 的方程联系起来？它们都用于平滑数据，但是 的方程包含 本身的数组中连续点的加权平均值，而 的方程不包含连续数据 的积分。我们如何将这个方程理解为对 中的数据进行平滑处理？
如果在断章取义时这个问题不相关，那么我很乐意提供更多细节。
您给出的第一个方程是低通 FIR 滤波器的差分方程，或具有持续时间有限的脉冲响应的线性滤波器。我会用不同的方式写它（以便它在时间和因果上明确离散）：
is the smoothed version of the discrete-time input sequence , generated by passing through an FIR filter with the coefficients . The frequency response of this filter is as follows:
事实证明，它不是一个非常好的低通滤波器。顾名思义，低通滤波器应该通过低频内容，同时去除高频内容。这提供了您正在寻找的“平滑”动作，因为“锯齿状”、非平滑特征与高频相关，因为它们随时间迅速变化。
您的第二个方程是低通IIR 滤波器的一个示例，它是一种线性滤波器，其脉冲响应的持续时间是无限的。滤波器的差分方程为：
其中 $x[n]$ 是过滤器输入，$y[n]$ 是过滤器输出。这种类型的滤波器通常用作低复杂度的低通滤波器，通常称为泄漏积分器。它因其简单的实现、低计算复杂度和可调性而受到青睐：它的截止频率取决于 $\alpha$ 的值。$\alpha$ 可以在区间 $[0,1)$ 上取值。$\alpha = 0$ 根本不产生过滤（输出等于输入）；随着$\alpha$ 的增加，滤波器的截止频率降低。您可以将 $\alpha = 1$ 视为截止频率无限低（滤波器输出始终为零）的边界情况。 is the filter input and is the filter output. This type of filter is often used as a low-complexity lowpass filter and is often called a . can take on values on the interval . yields no filtering at all (the output is equal to the input); as increases, the cutoff frequency of the filter decreases. You can think of as a boundary case where the cutoff frequency is infinitely low (the filter output is zero for all time).
例如，如果$\alpha = 0.8$，则滤波器的频率响应如下：, the frequency response of the filter is as follows:
这是比您的 FIR 示例更好的过滤器；它在频带的上端产生了更好的频率衰减。尽管通过查看差分方程可能并不明显（因为从滤波器输出返回到其输入的反馈），但由于其低通特性，它有效地对输入进行了平滑处理。我不确定此描述是否对您的应用程序特别有意义，但这些是非常基本的信号处理概念；对介绍性 DSP 文本的一些研究可以帮助填补空白。
编辑：根据要求，这是一个在同一轴上显示两个响应的图，说明了 FIR 示例滤波器提供的相对较差的衰减：
