乌克兰名字的音译在英语中有不同的化身（在其他语言中也是如此）。您可以找到Kravchuk polynomials和其他论文，例如 On Krawtchouk Transforms或Krawtchouk polynomials 和 Krawtchouk matrices。您还可以找到Kravchuk 正交多项式。

由于它们形成多项式的正交基（以及许多其他，在polpak上列出：Bernoulli、Bernstein、Tchebychev、Hermite、Laguerre、Legendre、Zernike），它们是变换的候选者。衍生矩用于图像处理，下面的论文似乎有广泛的受众：

• Krawtchouk 矩的图像分析, IEEE Transactions on Image Processing 2003

介绍了基于离散经典克劳楚克多项式的一组新正交矩。Krawtchouk 多项式被缩放以确保数值稳定性，从而创建一组加权 Krawtchouk 多项式。然后从加权的 Krawtchouk 多项式中推导出一组提议的 Krawtchouk 矩。建议矩的正交性确保了最小的信息冗余。推导矩不涉及数值近似，因为加权 Krawtchouk 多项式是离散的。这些特性使得 Krawtchouk 矩非常适合作为二维图像分析中的模式特征。研究表明，Krawtchouk 矩可用于提取图像的局部特征，这与其他正交矩不同，后者通常捕获全局特征。讨论了使用递归和对称属性的矩的计算方面。通过使用 Krawtchouk 矩进行图像重建的实验验证了该理论框架，并将结果与​​ Zernike、pseudo-Zernike、Legendre 和 Tchebyscheff 矩的结果进行了比较。Krawtchouk 矩不变量是使用几何矩不变量的线性组合构造的；对象识别实验表明，在无噪声和有噪声条件下，Krawtchouk 矩不变量的性能明显优于 Hu 的矩不变量。勒让德和切比雪夫时刻。Krawtchouk 矩不变量是使用几何矩不变量的线性组合构造的；对象识别实验表明，在无噪声和有噪声条件下，Krawtchouk 矩不变量的性能明显优于 Hu 的矩不变量。勒让德和切比雪夫时刻。Krawtchouk 矩不变量是使用几何矩不变量的线性组合构造的；对象识别实验表明，在无噪声和有噪声条件下，Krawtchouk 矩不变量的性能明显优于 Hu 的矩不变量。

稍后，您可以阅读：

• Image Analysis Using Hahn Moments，IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine，2007，其中 Hahn 矩概括了 Chebyshev 和 Krawtchouk 矩：

本文展示了 Hahn 矩如何提供对最近引入的 Chebyshev 和 Krawtchouk 矩的统一理解。后两个矩可以作为具有适当参数设置的 Hahn 矩的特定情况获得，这一事实意味着 Hahn 矩包含了它们的所有属性。本文的目的有两个：（1）展示 Hahn 矩作为 Chebyshev 和 Krawtchouk 矩的推广，如何用于全局和局部特征提取；（2）展示如何将 Hahn 矩整合到框架中归一化卷积分析不规则采样信号的局部结构。

在维基百科的离散傅里叶变换中，我们发现：

近年来，为了定义分数傅里叶变换的离散模拟，DFT 矩阵的特征向量的选择变得很重要——DFT 矩阵可以通过对特征值取幂来获得分数幂（例如，Rubio 和 Santhanam，2005）。对于连续傅里叶变换，自然正交特征函数是 Hermite 函数，因此它们的各种离散类似物已被用作 DFT 的特征向量，例如 Kravchuk 多项式（Atakishiyev 和 Wolf，1997）。然而，定义分数离散傅里叶变换的特征向量的“最佳”选择仍然是一个悬而未决的问题。