正如你所说的那样，DFT 可以用矩阵乘法表示，即傅里叶矩阵。另一方面，DFT 在乘法中“转换”循环卷积（因为 DFT、DTFT、FT 等所有傅里叶变换变体都具有将卷积转换为乘法的相似特性），反之亦然。$\mathbf{F}$

要在矩阵图中理解这一点，请注意，具有特定序列的（循环）卷积也可以用矩阵乘法表示。更具体地说，这是一个循环矩阵，一种特殊的 Toeplitz 矩阵。

所以 with循环卷积可以写成 用的条目形成的循环矩阵。$\mathbf{y} = \mathbf{c} * \mathbf{x}$$*$$\mathbf{y} = \mathbf{C}(\mathbf{c}) \mathbf{x}$$\mathbf{C}$$\mathbf{c}$

如果我们用 DFT“变换”这个方程（即乘以），我们得到$\mathbf{F}$

$\widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{F} \, \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H\, \widehat{\mathbf{x}}$

与和各自的 DFT（注意代表 IDFT）。$\widehat{\mathbf{y}} =\mathbf{F}\mathbf{y}$$\widehat{\mathbf{x}} =\mathbf{F}\mathbf{x}$$\mathbf{F}^H$

现在的重点是始终是对角矩阵，因为所有循环矩阵都被傅里叶矩阵对角化了。这意味着循环矩阵的特征向量仅由傅立叶矩阵的行给出。$\mathbf{F} \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H$

这当然与卷积图一致，因为 DFT 将卷积转换为元素范围的乘法。此外，这个矩阵的对角元素只是形成的循环矩阵的特征值。$\mathbf{c}$$\mathbf{c}$

顺便说一句，DFT 是唯一交换卷积和逐项乘法（显然，直到系数的排列）的双射线性变换。这不难证明，但在我在通过傅里叶空间的音乐中将它拼出来之前，我没有找到任何关于这个结果的参考，Thm。1.11（斯普林格 2016）。在连续情况下更麻烦，因为必须很好地选择所涉及的功能空间。

也许这个倒数也可以使用循环矩阵和同时对角化来证明。