信息处理 - 加窗互相关的概率分布 - 吾爱随笔录

加窗互相关的概率分布

信息处理互相关估计者随机的

2022-01-12 02:11:16

这个问题是在时间延迟估计的背景下进行的。假设我有一个平稳的高斯随机过程 $g$ , 我知道它的自相关函数 $R_g(\tau)$ . 为了进行时间延迟估计，我正在计算两者之间的窗口互相关 $g$ 以及它的延迟版本。换一种说法，

g_{1} = g (x - D) ϕ (τ) = \int_{- T / 2}^{T / 2} g (x) g_{1} (x + τ)

$g_1 = g(x-D) \\ \phi(\tau) = \int_{-T/2}^{T/2} g(x) g_1(x + \tau)$ 我将通过找到最大值来确定延迟

ϕ

$\phi$ .

我的问题是，是否有可能得到概率分布的表达式 $\phi$ ?

2个回答

扩展我的评论， $\{\phi(\tau)\}$ 是一个非平稳非高斯随机过程，我怀疑随机变量的概率密度函数是否有任何简单的答案（甚至是相当复杂的答案） $\phi(\tau)$ 对于任意值 $\tau$ . 但是，过程的（时变）平均函数很容易计算。我们有

\begin{aligned} E [ϕ (τ)] & = E [\int_{- T / 2}^{T / 2} g (t) g (t - D + τ) d t] \\ = \int_{- T / 2}^{T / 2} E [g (t) g (t - D + τ)] d t \\ = \int_{- T / 2}^{T / 2} R_{g} (τ - D) d t \\ = T \cdot R_{g} (τ - D) \end{aligned}

$\begin{align*} E[\phi(\tau)] &= E\left[\int_{-T/2}^{T/2} g(t)g(t-D+\tau)\, \mathrm dt\right]\\ &= \int_{-T/2}^{T/2} E[g(t)g(t-D+\tau)]\, \mathrm dt\\ &= \int_{-T/2}^{T/2} R_g(\tau-D)\, \mathrm dt\\ &= T\cdot R_g(\tau-D) \end{align*}$

在哪里 $R_g(\cdot)$ 是输入过程的自相关函数 $\{g(t)\}$ . 请注意，输入过程不一定是高斯的。广义平稳性就足够了。由于自相关函数在原点有一个峰值，我们看到 $\phi(D)$ 具有最大的平均值。此外，平均值对称衰减 $D$ ：那是， $E[\phi(D+\epsilon)] = E[\phi(D-\epsilon)]$ 和

| E [ϕ (τ)] | \leq E [ϕ (D)] = T \cdot R_{g} (0) .

$|E[\phi(\tau)]| \leq E[\phi(D)] = T\cdot R_g(0).$

寻找方差 $\phi(\tau)$ 是一个更加混乱的计算，可能会或可能不会包含在 Charna 引用的论文中（在付费墙后面）。

我不知道你的问题的答案，但也许这篇论文可以提供帮助。我意识到您没有使用单比特随机波形，但他们计算的分布的公式是相当完整的。

“有限持续时间单比特随机波形的互相关函数的概率分布”

摘要研究了数字互相关器利用严重削波带限高斯波形的检测误差，推导了有限时长波形和宽带高斯噪声失真引起的相关器输出概率分布，并与实验结果进行了比较。

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=4235873

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