创建频率向量

fft() 输出的排列取决于您的 fft 是使用奇数点还是偶数点。我认为这篇文章很好地总结了频率的排列方式。看看它。

• 由于您使用的是偶数个点，因此Nyquist频率$F_N = F_s/2$出现在 fft 的输出中，并且是频率向量中的最大值。您的采样频率为$N/T=100/10=10\;\textrm{Hz}$，因此向量中的最大可检测频率将为$F_N=5\;\textrm{Hz}$。
• 其次，无论您使用偶数点还是奇数点，DC 值始终是 fft 输出中的第一个条目。
• 频率分辨率$df = F_s/N$是频率空间中 fft 输出箱之间的间隔。对你来说，这将是$0.1\;\textrm{Hz}$。
• 最后，以对称、居中的方式显示频谱也是最常见的，DC 频率位于中间 - 函数 fftshift 会为您执行此操作。

考虑到所有这些，与您的 fft 输出相对应的频率向量（在您应用 fftshift() 使其居中之后）将是 $$ f = [-F_N : df : (F_N-df)] $$ 有一些讨论关于如果您有兴趣，请在此线程中使用fftshift 。请注意，在 fftshift() 之后，对应于 Nyquist 的分量$F_N$被放置在向量的开头，因此从 fftshift() 的角度来看，它被认为是负频率 - 末尾没有 Nyquist正频率中的矢量（然后相反，为了对称，直流分量被视为正频率）。

用正确的比例绘制频谱

就个人而言，我更喜欢根据波的功率（能量变化率）而不是 fft bin 中组件的幅度来处理这些事情。这只是帮助我跟踪单位，并保持物理状态。以下代码使用简单的 周期图估计为您的信号计算功率谱密度$S_{xx}$（我假设您的信号以伏特为单位 - 可能是也可能不是真的 - 但可以是任何东西：温度，股票价格，等等）。抱歉，我的代码是在 Matlab 中，而不是 Python，但希望您可以毫无问题地按照这些步骤操作。

N = 100;   % Number of samples
T = 10;    % Record window duration
dt = T/N;  % Sampling period
Fs = 1/dt; % Sampling frequency

t = 0:dt:(T-dt); % Time vector for sampling

% generate samples at the specified times
x = 5*sin(2*pi*3*t - 2); % units: [V]

df = Fs/N; % frequency resolution (bin width in frequency space)

% generate frequency vector for 2-sided spectrum (NOTE, this arrangement
% only works for even number of points - otherwise, use f = -(Fs/2-df/2):df:(Fs/2-df/2))
f = -(Fs/2):df:(Fs/2-df);

% Calculate Fourier transform (approximating CFT), and shift DC term to centre
X = fftshift(fft(x))*dt; % units: [V sec]

X((abs(X)<1e-10)) = 0; % kill values below threshold, so phase is well-behaved

% Calculate power spectral density using periodogram estimation
Sxx = (X.*conj(X))/(N*dt); % units: [V^2 / Hz]

figure; stem(f,Sxx)      % Plot power spectral density
figure; stem(f,angle(X)) % Plot phase

代码中的变量$X$是连续傅里叶变换积分的离散近似值，这就是为什么它乘以采样周期$dt$（近似值是黎曼和）。然后可以由此计算周期图 - 再次，在其连续对应物的离散版本中，我认为在这个答案中很好地解释了这一点。注意，Matlab 也有一个内置函数 periodogram()，它也可以进行计算。

您可以看到在$\pm 3\;\textrm{Hz}$处有正确的峰值，与您的输入信号完全匹配（请记住，正弦波实际上是复指数的总和）。

-- 请注意，在信号处理中，“能量”定义为 [信号平方乘以时间]，因此功率为 [能量/时间]，然后是 [信号平方]。这就是为什么您在以$[V^2]$ 为单位给出的答案中看到“力量”的原因。要找到以 [Watts] 为单位的物理功率，您只需按您正在驱动的任何负载的电阻进行缩放。这通常在信号分析中设置为 1——

验证 Parseval 定理

您还可以通过检查时域和频域中的功率和能量是否相等来验证 fft 输出的缩放比例，因为它们应该符合Parseval 定理。请记住，如果您对所有频率的功率谱密度进行积分，您应该获得输入信号中存在的总功率。例如，使用

Energy_timedomain = sum(x.*conj(x))*dt  = 125  [V^2 sec]
Power_timedomain = Energy_timedomain/T  = 12.5 [V^2]
Energy_freqdomain = sum(X.*conj(X))*df  = 125  [V^2 sec]
Power_freqdomain = sum(Sxx)*df          = 12.5 [V^2]

请注意，如果您为输入信号采用更长的时间窗口持续时间$T$ ，则“能量”将增加（因为它更多），但平均功率将保持不变（因为这是活力）。

恢复幅度

功率谱密度图中每个峰值的值为$62.5\；[\textrm{V}^2 / \textrm{Hz}]$。要将其转换为功率，我们需要乘以 bin 宽度（本质上是对该 bin 上的功率谱密度进行积分）。在您的情况下，箱宽度为$df=F_s/N = 10\;\textrm{Hz}/100 = 0.1\;\textrm{Hz}$。因此，该频率下输入信号的总功率为 $$ P = 2 \times 62.5\;[V^2/\textrm{Hz}] \times 0.1\;[\textrm{Hz}] = 12.5\; [V^2] $$ 其中$2$的因数是因为有 2 个峰值 - 频谱的负部分功率的一半和正部分的功率的一半。请注意，如果您的输入信号是真实的，那么输出频谱将始终是对称的，并且您经常会看到被丢弃的负频率（不包含任何额外信息）。如果您选择丢弃负频率，那么您应该将剩余的唯一正频率中的功率乘以 2 以进行补偿（但不要将 DC 或 Nyquist 乘以 2，因为它们中的每一个都只有一个在 fft 输出中-它们没有负面的对应物）。

我们知道，对于正弦曲线，功率和幅度$A$与$P = A^2/2$相关（同样，只需将任何负载电阻设置为$1$）。因此，重新排列这个，你的 3 Hz 波的振幅是

$$A = \sqrt{2\times 12.5} = 5\;[V]$$

恢复阶段

正如 Hilmar 所说，$-2$ 的相位可以通过获取$3\;\textrm{Hz}$处的相位值（即 2.712）并加上$\pi/2$然后减去$2\pi$来恢复。$\pi/2$是因为您的输入信号是正弦波，它本质上已经包含相移，因为 $$ \sin(2\pi f_0 t + \phi) = \cos(2\pi f_0 t + ( \phi - \pi/2)) = \cos(2\pi f_0 t + \phi_{\textrm{fft}}) $$ 所以你需要将$\pi/2$添加到 fft( ) 得到你的输入阶段 $$\phi = \phi_{\textrm{fft}} + \pi/2 = 2.712 + \pi/2 = 4.283.$$ 最后的$2\pi$减法是因为在执行此操作后，您会得到大于$\pi$的值，因此您只需解开相位以将其恢复到$[-\pi ... +\pi]$范围内。

最后的注意事项 在这种情况下一切都很好，因为由于采样率、点数、时间窗口和输入频率波的组合，所有信号能量都恰好落在单个 fft bin 中（参见此处）。如果在将输入信号传递给 fft() 之前对输入信号应用了任何窗口或零填充，事情就会变得更加困难。当你走到那一步时，这里和这里都有一些启发性的答案。

知道 FFT 中的每个 bin 是指数$e^{j\omega t}$的值，而不是正弦或余弦。

因此，对于 OP 的情况$5sin(2\pi 3 x-2)$就指数而言（参见欧拉恒等式），这是：

$$\frac{5}{2j}e^{j(6\pi x -2)} - \frac{5}{2j}e^{-j(6\pi x -2)}$$

每个都是 DFT bin，其幅度和相位由上述指数给出，只要 DFT 通过$1/N$归一化。（$1/j$只是$e^{-j\pi/2}$的附加相移，因此例如，第一个 bin 的幅度为$2.5$，相位为$-2-\pi/2美元）。

此外，DFT 中的频率轴具有$k$的索引，对于 DFT 中的$ N$个样本，它从$0$到$N-1$，对应于从$0$到$(N-1)的频率轴/N$ Hz，循环旋转，使得频谱的上部同样是负频率。这意味着对于$10$ Hz的采样率和$100$的样本，上面给出的$-3$ Hz 频率等价于$+7$ Hz：

$e^{-j(2\pi fx -\phi)}$采样时为$e^{(-j2\pi fn/f_s - \phi)}$

所以采样时$ \frac{5}{2j}e^{-j(6\pi x -2)}$上面的值是$\frac{5}{2j} e^{-j(2\pi 3 n/10 -2)}$

这相当于$\frac{5}{2j}e^{-j(2\pi (10-3)n/10 -2)} = \frac{5}{2j}e^{-j(2\ π 7 n/10 -2)} $

所以底线是，对应于 3 Hz 和 7 Hz 的两个区间将具有由给定正弦波的欧拉展开给出的幅度和相位，当 DFT 适当地按$1/N$缩放时。

为 OP 的示例显示此内容：

对于您的情况，您的$N= 100$的采样率似乎为 $f_s = 10$，因此要确保整数个周期（下面的 MATLAB 代码）：

N = 100
fs = 10
n= 0:N-1;
f = 3;
y = 5*sin(2*pi*f*n/fs-2);

如果您使用归一化的 DFT，它将答案按$1/N$缩放，您会得到以下幅值图，我们可以清楚地看到上面推导的 2.5 系数和两个音调（由于 DFT 的周期性属性超过 5 Hz 的上频谱表示负频率轴：5 Hz 至 10 Hz 与 -5 Hz 至 0 Hz 相同）。在这里，我使用 n/fs 将 bin 编号 k 转换为频率：

我们可以从图形上看到这两个 bin 的相位从这些 FFT bin 的相位中得到，如下所示，通过 fft 的复数（实数-虚数）图。我们将这两个 bin 中的每一个视为幅度为 2.5 且相位为$\pm 2.71$弧度的相量，这与$\pm 2\pi-2.71 = 3.57$弧度或预期的$\pm(- 2-\pi/2) = \pm 3.57$弧度：

有几点需要考虑。

如果您创建一个在时间窗口中具有整数个周期的正弦波，这一切都会变得容易得多。您可以通过将时间向量构建为

t = np.linspace(0, tmax*(1-1/npts), npts) 

如果你这样做，你可以按如下方式处理：

1. 您正在使用长度为 10 秒的时间窗口，通过 100 个抽头进行采样，这为您提供了 0.1 秒的时间分辨率或 10 赫兹的采样率。
2. FFT 的结果有 100 个频率分档，分档间距为 0.1Hz。您将在 bin 30 = $3Hz/0.1Hz$ AND bin 70 = $(10Hz-3Hz)/0.1Hz$中找到与您的 3 Hz 正弦波对应的 FFT 值 。仓 30 表示正频率分量，仓 70 表示负频率。
3. 每个 bin 中的幅度将为 FFTSize*Amplitude/2 = 250。
4. 正 bin 处的相位将为 2.7124。为了获得 -2 的原始相位，您需要添加$\pi/2$以补偿正弦和余弦的差异，并减去$2\pi$以展开相位。

如果你的正弦波没有整数个周期，事情会变得复杂得多，在你完全理解整数情况之前我不会去那里。