这是我之前根据@hotpaw2 给出答案后的聊天提出的一个后续问题，并从stackoverflow 交叉发布，因为有人建议它与DSP 更相关。我有一个信号，它将是一个带有相位偏移的单余弦波。我的任务是提取（需要非常高的精度）这个单一频率分量的幅度和相位。

在纸面上，假设正确归一化的傅立叶变换$T$，以下关系成立：

$$T(\omega) = \mathcal{F}\left\{A \cos(\omega_0 t+ \phi) \right\}$$ $$A = 2|T(\omega_0)|= 2\sqrt{ \mathrm{Re}(T(\omega_0))^2+\mathrm{Im}(T(\omega_0))^2}$$

$$\begin{align} \phi & = \arg \left\{\mathrm{Re}(T(\omega_0)) + j \mathrm{Im}(T(\omega_0)) \right\} \\ & = \mathrm{atan2}\left( \mathrm{Im}(T(\omega_0)), \ \mathrm{Re}(T(\omega_0) \right) \\ \end{align}$$

不出所料，DFT 不仅仅是简单地进行转换并挑选相关组件。特别是，讨论向我表明，我并不完全清楚测量相位偏移的对象是什么，并且如果数据未正确窗口化，则会存在显着的边缘效应，可能会破坏结果的准确性。

我一直在谷歌上搜索，但大多数讨论都是相当技术性的，而且例子很简单，所以我希望有人能对事情有所了解。特别是，我遇到了一个示例，建议我应该先进行转换，而不是进行简单的转换。

我把这段代码放在一起来测试一些想法：

import numpy as np
import pylab as pl

def flattop(n):
    return [1.0 - 1.93*np.cos(2*np.pi*k/(float(n-1))) + 1.29*np.cos(4*np.pi*k/(float(n-1)))- 0.388*np.cos(6*np.pi*k/(float(n-1))) + 0.028*np.cos(8*np.pi*k/(float(n-1))) for k in range(int(n))]

f = 30.0
w = 2.0*np.pi*f
phase = np.pi/7
num_t = 10*f
window = flattop(num_t)

t, dt = np.linspace(0, 1, num_t, endpoint=False, retstep=True)

signal = np.cos(w*t+phase)+np.random.normal(0,0.05,len(t))

pl.plot(t,window*signal)
pl.show()

amp = np.fft.rfft(window*signal)
freqs = np.fft.rfftfreq(t.shape[-1],dt)

index = np.argmax(np.abs(amp))
print index
print(np.arctan2(amp.imag,amp.real))[index]
print (np.abs(amp))[index]*(2.0/len(t))

pl.subplot(211)
pl.plot(freqs,np.abs(amp))
pl.subplot(212)
pl.plot(freqs,(np.arctan2(amp.imag,amp.real)))
pl.show()

一些观察：

当我使用 时num=10*f，我在相位和幅度上都得到了完美的结果。但是，如果我使用num=10*f+1，我得到的阶段是完全错误的。我尝试过使用一个窗口（特别是一个平顶窗口，因为它保留了幅度）并且我得到了同样的结果：除非我将样本数控制为整数倍（实际上是 10.2、10.4、10.6 和 10.8* f 由于某种原因也给出了很好的结果）的信号频率，我得到了垃圾。

有人建议我可以通过测量窗口中心的相位来改进这一点，这可以使用 fftshift 来实现。谷歌搜索给了我几个我在代码中实现的例子，但结果是一样的。

所以：第一组问题：有人可以解释使用 fftshift 的意义，以及它对数据的确切作用吗？为什么使用逆移位、变换、然后移位需要一个仅移位一次且没有逆运算的频率分量集？这种方法是否正确（暂时忽略窗口问题）。

对于有限时域信号，似乎也需要使用窗口，我可以理解。我不清楚的是如何校正窗口效果的幅度和相位。我玩过平顶窗来保持幅度，它似乎有效，但我不明白为什么幅度增益不是频率的函数。

第二组问题：如果我对数据进行窗口化，大概这会影响结果的幅度和相位（？）。是否有一种分析方法可以校正给定窗口形状的幅度变化？我可以找到一些列出校正因子的表格，但我还没有真正看到一个好的解释。

在链接的问题中，有人说相位应该在窗口函数的驼峰中心附近测量。但是因为窗口函数是一个时域函数并且我想要特定频率的相位，所以我不太明白这意味着什么。

实际上，我的样本信号不会是生成的完美余弦波，而且我无法控制样本数量，因此我需要改进方法以提供准确的信息，而不管样本的确切数量如何。

编辑：似乎这里的第一个答案可能是一个解决方案，但如果有人可以提供见解，我仍然想更深入地了解问题中提出的问题。

编辑 2：似乎问题与这样一个事实有关，即为了获得准确的相位信息，我们要求感兴趣的频率准确地位于 DFT 箱的中心。对于任意数量的样本，如何确保这一点？上面链接的问题提供了一个很好的例子，它适用于单个频率，但必须有一种通用的方法来为多个频率执行此操作。