如果是输入信号，是输出信号，是通道的脉冲响应，那么下面的关系成立
其中是的 DFT 。
为了验证这一点，我编写了以下 MATLAB 代码
x = randn(1,1000);
h = [1 2 3 4 5];
y = conv(x,h);
plot((abs(fft(h,1024)).^2).*(abs(fft(x,1024))));
hold on
plot(abs(fft(y,1024)),'r')
结果表明，第二个地块的水平远低于第一个地块。当我将第二个图乘以即 NFFT 时，两个图重叠。
原方程有什么问题？我记得在课堂上是这样学的。
我认为您在功率谱和傅立叶变换之间犯了一个错误。这是卷积理论的正确形式（没有什么是平方的）：
试试这个，它会在 MATLAB 上为你工作。
% Calculating the Magnitude of the Filtered Signal
vFilterCoeff = [1; 2; 3; 4; 5];
vInputSignal = randn(1000, 1);
vOutputSginal = conv(vInputSignal, vFilterCoeff);
fftNumPoints = 1024;
vOutputSignalDftMagnitude = abs(fft(vOutputSginal, fftNumPoints));
vFilteredSignalDftMagnitude = abs(fft(vFilterCoeff, fftNumPoints) .* fft(vInputSignal, fftNumPoints));
hFigure = figure();
hAxes = axes();
plot([vOutputSignalDftMagnitude, vFilteredSignalDftMagnitude]);
结果是：
可以看出，有一个完全的相等性。
只需将代码更改为以下内容：
x = randn(1,1000);
h = [1 2 3 4 5];
y = conv(x,h);
plot((abs(fft(h,1024))).*(abs(fft(x,1024)))); % It's |H(w)||X(w)|
hold on
plot(abs(fft(y,1024)),'--r')
您错误地将脉冲响应的 DFT 提高到了二次方。您可以看到幅度有点偏离，但峰值和谷值在同一点上更少。
此外，我在我的 MATLAB 2014a 中注意到，运行原始代码后出现错误。那是因为向量x是一个行向量，并且y是一列。
这部分是为了回答Drazick，声称这种方法会产生一些错误（已经出现在我的解决方案中）。
在@jojek 代码中没有相等性，因为他在乘法之前通过对两个信号应用 abs 运算符来忽略相位（与卷积定理相反）。
如果过滤器有更苛刻的相位，他的结果会有更大的误差。
首先请阅读我的 MATLAB 代码，也许你会注意到--r第二个绘图函数的开关。我故意使用虚线，否则我们只会有红色的情节而根本没有蓝色。
但是，让我们切入正题。代码现在稍作修改，因为随机信号被带有随机系数的长滤波器过滤。这就是我们比较和时域卷积：
让我们放大：
所以三个都是平等的。脚本还提供了两种方法之间的最大差异，大约为。下面的脚本重现结果：
clc, close all
x = randn(1,1000);
h = randn(1,200); % some crazy filter
y = conv(x,h);
N = length(y);
Y = abs(fft(h,N)).*abs(fft(x,N)); % |H(w)||X(w)|
YY = abs(fft(h,N).*fft(x,N)); % |H(w)X(w)|
plot(YY,'go');
hold on
plot(Y,'b')
plot(abs(fft(y,N)),'--r')
grid on
legend({'|H(w)X(w)|','|H(w)||X(w)|','conv'})
display(sprintf('Max error: %e', max(abs(YY-Y))))