首先澄清OP的误解：奈奎斯特稳定性标准涉及-1的顺时针环绕，而不是原点，这将是开环增益的极坐标图。

我在下面为那些更感兴趣的人提供了一些详细信息。

首先回顾一下与控制环的开环增益和闭环增益相关的基本方程：

$$G_{CL}= \frac{G_F}{1+G_{OL}}$$

闭环增益的分母称为“特性方程”。鉴于所有线性时不变的物理过程都具有适当的传递函数（分子的次数不能超过分母的次数），我们能够仅从特征方程的根确定稳定性。特征方程的根（零）是闭环传递函数的极点（因为特征方程是闭环传递函数的分母）。

因此，所有稳定性评估都是确定特征方程的任何根是否在右半平面（因此不稳定）的方法。

奈奎斯特在创建“奈奎斯特稳定性标准”时所做的就是利用柯西论证原理作为确定这一点的方法。他的方法的意义在于，他无需使用特征方程，而是仅使用开环增益（$G_{OL}$）。当您看到这种方法时，您会观察到，您实际上并不需要开环增益的方程。我们可以进入实验室（或模拟复杂的数字设计）并测量传递函数作为幅度和相位与频率的关系，并从该测量中直接确定稳定性，而无需求解极点和零点以及多项式等。这非常重要所以我将通过示例再次强调这一点：我们可以有一个具有时间延迟的系统，该系统不容易转化为多项式，或者一个具有抽取导致 z 的分数幂的数字系统，或者一个复杂的系统，其中努力测量幅度和相位与频率的关系将是创建精确实际方程的一小部分。通常数字系统会有寄生$z^{-1}$在创建传递函数的过程中可能很容易错过的延迟，但无法隐藏可测量的可见相位延迟。

柯西论证原理

适用于奈奎斯特方法的柯西论证原理的本质是，如果我们在复平面上映射一个环绕函数 H(s) 的极点和零点的任意轮廓，则映射将在同一方向上环绕原点 ZP 次，其中 Z 是零点的数量，P 是极点的数量。这在下面的例子中得到了证明，显示了每个零和极点的影响；对于轮廓内的每个零，映射将围绕相同方向的原点，对于轮廓内的每个极点，映射将围绕相反方向的原点。外面的任何东西都不会造成包围。包围意味着阶段完成 0 到$2\pi$，对于多个极点和零点，它们各自的相位（参数）贡献相加，因此得名“柯西参数原理”：

奈奎斯特图

因此，使用柯西论证原理，奈奎斯特使轮廓成为整个右半平面，以确定特征方程的任何根是否在轮廓内（因此是一个不稳定的系统）。现在，如果Nyquist 方法为特征方程本身绘制轮廓，则环绕确实会围绕原点 N=ZP 次，如上面在 Cauchy 论证原理的发展中所述。由于特征方程是$1+G_{OL}(s)$并且根是$1+G_{OL}(s)=0$的解，因此 Nyquist 方法只在$G_{OL}( s)$和来自$G_{OL}(s)= -1$如果由于右半平面中的根而存在包围，则它们将在 -1 附近（通过从两侧减去 1，我们只是移动了原点，但更重要的是，单独隔离了开环增益的函数，如上所述，它是我们可以轻松测量的系统参数。

因此，如果顺时针环绕数为 -1，则系统不稳定，因为顺时针环绕数为 N=ZP，且 P 不能为负数。然而，从这里我们也看到，如果没有顺时针环绕，那并不能保证稳定性，除非我们知道开环增益的右半平面中没有极点 (P = 0)。如果我们的开环系统是稳定的，那么我们就知道这是真的，我们可以就闭环稳定性做出结论。如果不是，那么在这种情况下，我们需要在确定稳定性之前确定开环增益中的极点数量及其位置（右半平面或左半平面）。

注意：我以 s 为单位描述了 Nyquist 图，表示模拟系统，但所描述的所有内容也适用于以 z 为单位的数字系统（它只是频率幅度和相位是通过扫描单位圆而不是$j来完成的\omega$轴。）有趣的是观察下面的模拟系统示例，该示例我使用脉冲不变性方法映射到数字系统，表明两个系统的奈奎斯特图是相同的（在这个比例下）。点是顺时针圈数-1的结果还是和数字系统一样：

这里的问题是，对于给定的函数，通常的 Nyquist 等值线（见下图）会导致 Nyquist 图无法确定稳定性。

奈奎斯特轮廓 ( $M\to\infty$ )（来自 AVOppenheim 的 Signals and Systems）

原因是对于所有三个函数，$|s|\to\infty$的限制都为零。所以沿右半平面（无限半径）的半圆的函数值为零。这并不总是一个问题，但对于给定的函数（没有有限零点），它会导致无法确定原点环绕的奈奎斯特图。

这个问题可以通过修改复变量$s$移动的奈奎斯特轮廓来解决。对于函数$F(s)=\frac{1}{s}$，无论如何都需要修改上面显示的轮廓，因为轮廓上的极点是不允许的。通常的修改是在右半平面中引入一个以原点为中心的具有无限小半径的半圆（有关此类修改轮廓的图，请参见此答案。）这样，$s=0$处的极点是避免，但轮廓仍然包围完整的右半平面。请注意，对于轮廓上没有极点的其他两个函数，此修改不是必需的。

使原点的包围可见的另一个修改是在上图中保留半径$M$有限。当然，这意味着我们的轮廓不包含完整的右半平面。然而，半径$M$可以根据需要尽可能大。此外，对于给定的函数，我们无论如何都知道极点位置，我们只想证明沿修改轮廓的奈奎斯特图确实给出了预期的结果。

修改后的奈奎斯特图如下图所示。有限半径$M$导致 Nyquist 图在原点附近有一个小圆段。该圆形段的半径（大约）与奈奎斯特轮廓的半径$M$成反比。

对于函数$F(s)=\frac{1}{s}$（最左边的图），我们看到奈奎斯特图没有环绕原点，这与没有极点和没有（有限) 右半平面中的零点。[请注意，$s=0$处的极点由于上述奈奎斯特等值线中的无穷小半圆而位于奈奎斯特等值线之外。]

函数$F(s)=\frac{1}{s+1}$（中心图）也没有包围原点。这与右半平面中没有极点和（有限）零点的事实一致。

最后，对于$F(s)=\frac{1}{s-1}$（最右边的图），我们有一个逆时针环绕原点，对应于一个极点，右侧没有（有限）零- 半平面。

奈奎斯特图只不过是函数 $$ \mathbb R \to \mathbb C,\qquad \omega\mapsto G(j\omega) $$ 与 $G$ 传递函数的图。本质上，您看到的曲线是点 $G(j\omega)$ 的轨迹，因为 $\omega$ 在 $\mathbb R$ 中变化。因此，如果你取 $G(j\omega)= 1/(j\omega+1)$，从技术上讲，原点不属于曲线！事实上，$+\infty$ 和 $-\infty$ 不属于 $\mathbb R$，并且只有这样的值才有 $G(j\omega)=0$。您为任意大（或小）$\omega\in\mathbb R$ 获得的所有点 $G(j\omega)$ 都属于该图，因此曲线渐近地趋向于原点，但它从未到达原点. 所以是的，原点不在曲线上。

此外，如果考虑 $G(j\omega)$ 的实部，即 $$ Re[G(j\omega)] = Re\left[\dfrac{j\omega-1}{j\ omega-1}G(j\omega)\right]=Re\left[\dfrac{j\omega-1}{-1-\omega^2}\right] = \dfrac{1}{1+\omega ^2} $$ 你有所有 $\omega\in\mathbb R$ 实部是积极的！并且仅对 $\omega=\pm\infty$ 为零，但这是不可接受的。因此原点位于曲线的左侧。同样的推理适用于您提供的另外两个示例。

如果原点似乎位于曲线上，则必须小心。也就是说，您需要研究曲线在 D 部分中的作用，$s=\infty\,i\,\,e^{-i\,\theta}$, $0\leq\theta\leq\pi$ . 因为它可能会或可能不会勉强包围原点。