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全变差框架中各向同性和各向异性术语的含义

信息处理图像处理去噪平滑全变

2022-01-02 07:29:35

各向同性 TV 定义为梯度的 2-范数，而各向异性 TV 被定义为梯度的 1 范数估计. $\sqrt{(y_{i+1,j}-y_{i,j})^2+(y_{i,j+1}-y_{i,j})^2}$ $|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|$

现在我想知道为什么第二个会被称为各向异性。因为从我的角度来看，各向同性 TV 限制了梯度的 2 范数，因此它可以限制每个方向的梯度范数。但是对于第二个，由于绝对值是有界的，这意味着每个方向的 2-范数也可以是有界的。这不是限制梯度的各向同性方式吗？

1个回答

在 Total Variation 框架中，我们定义了 2 种风格：

Isotropic TV {T V}_{L_{2}} (X) = \sum_{i j} \sqrt{{(D_{h} X)}_{i j}^{2} + {(D_{v} X)}_{i j}^{2}}

$\text{Isotropic TV} \; {TV}_{ {L}_{2} } \left( X \right) = \sum_{ij} \sqrt{ { \left( {D}_{h} X \right) }_{ij}^{2} + { \left( {D}_{v} X \right) }_{ij}^{2} }$

Anisotropic TV {T V}_{L_{1}} (X) = \sum_{i j} \sqrt{{(D_{h} X)}_{i j}^{2}} + \sqrt{{(D_{v} X)}_{i j}^{2}}

$\text{Anisotropic TV} \; {TV}_{ {L}_{1} } \left( X \right) = \sum_{ij} \sqrt{ { \left( {D}_{h} X \right) }_{ij}^{2} } + \sqrt{{ \left( {D}_{v} X \right) }_{ij}^{2} }$

其中和是水平/垂直有限差分算子。 ${D}_{h}$ ${D}_{v}$

在电阻抗断层扫描中引用各向同性和各向异性总变化正则化：

值得注意的是，将泛函称为“各向异性”有点误导，因为所有坐标方向对应的权重都是相等的。

使用术语 Anisotropic 是因为这种风味将 Vertical 和 Horizontal 组件分开，就像在Anisotropic Diffusion中所做的那样。因此，它没有像 Isotropic Flavor 那样的旋转不变项。如您所知，二次项之和与椭圆相连，并且权重相等，它是一个球体/圆，它是各向同性的。

关于该主题的精彩阅读是Laurent Condat - Discrete Total Variation - New Definition and Minimization ( DOI Address )。它分析了不同电视定义的空间平滑特性。

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