了解为什么维纳滤波器试图解决的问题的结果是线性时不变 (LTI) 滤波器的最简单方法之一是推导（求解）它。

根据维纳滤波器的定义，我们正在寻求使用卷积应用的滤波器形式的解决方案，这意味着该滤波器必须是 LTI。

让我们来看看这个。
维纳反卷积问题由下式给出：

$$y \left( t \right) = \left( h \ast x \right) \left( t \right) + n \left( t \right)$$

在哪里：

• $x \left( t \right)$是要估计的信号。
• $h \left( t \right)$是线性时不变系统的已知脉冲响应。
• $n \left( t \right)$是一些未知的附加噪声，独立于$x \left( t \right)$.
• $y \left( t \right)$是我们观察到的信号。

维纳反卷积，为了解决上述问题（估计$x \left( t \right)$) 正在寻找$g \left( t \right)$这样：

$$\hat{x} \left( t \right) = \left( g \ast y \right) \left( t \right)$$

最小化：

$$\mathbb{E} \left[ { \left( x \left( t \right) - \hat{x} \left( t \right) \right)}^{2} \right]$$

由于我们定义了 Winer 过滤器$g \left( t \right)$通过卷积运算，我们将其定义为 LTI。

这并不是说维纳滤波器“确保滤波是线性时不变的”。维纳滤波器是线性且时不变的。线性和时不变性只是滤波器的属性。

例如，假设您有一件蓝色衬衫。您对 Wiener 过滤器的询问类似于询问“衬衫如何确保其颜色为蓝色？”。你看，这没有多大意义。它是蓝色的，只是因为你是那样做的。

维纳滤波器设计为 LTI，因此其输出是输入信号与其脉冲响应之间的卷积。LTI 过滤器具有许多有趣且实用的特性，这就是我们经常处理这些类型的过滤器的原因。请记住，这就是为什么这被称为“线性估计”。如果您要应用更复杂的非线性估计程序，那么维纳滤波器将不得不被其他东西代替。

维纳滤波器是所谓的最优滤波问题的解决方案：最优估计（以最小均方误差）期望信号$y[n]$从另一个信号$x[n]$这与$y[n]$但也被噪音破坏。

现在，如果您假设所需的信号$y[n]$是一个WSS（广义平稳）随机过程，并且$x[n]$也是WSS，那么你可以假设最优滤波器（Wiener filter）$y[n]$从输入$x[n]$可以是具有固定脉冲响应的 LTI 滤波器$w[n]$（主要被认为是一个 FIR 系统）。

然后，您可以构建最优过滤问题的数学公式，就像@Royi 在他的回答中所做的那样，以找出特定的解决方案；（即最优维纳滤波器$w[n]$) 基于输入的给定统计$x[n]$和所需的信号$y[n]$这被描述为：

$$w_o = R_{xx}^{-1} p_{xy}$$

在哪里$R_{xx} = \mathcal{E} \{ \bar{x}[n] \bar{x}[n]^{H} \}$是个$N \times N$的自相关矩阵$N \times 1$输入信号向量$\bar{x}[n]= [x(n), x(n-1),...,x(n-N+1)]^{H}$和向量$p_{xy}$是输入向量之间的互相关$\bar{x}[n]$和单个样本$y[n]$. 当信号为 WSS 时，这些矩阵在时间上是固定的，因此滤波器$w_o$将及时修复，因此 LTI。

在此设置中，LTI 断言是在 WSS 假设所涉及的随机过程期间隐式进行的。否则，您可能最终不会得到可以解决最小均方估计问题的 LTI 系统。

事实上，当期望的响应$y[n]$不是 WSS，维纳滤波器变成了跟踪滤波器，以具有时变脉冲响应的自适应形式（例如 LMS）实现；一个 LTI$w[n]$在这种情况下，不能成为最优过滤问题的解决方案。