我不禁引用 Huber, Robust Statistics , p.10 对此的评论（抱歉，引用太长，无法放入评论）：

散布的两个历史悠久的测量方法是平均绝对偏差

$$d_n=\frac{1}{n}\sum|x_i-\bar{x}|$$

和均方差

$$s_n=\left[\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2\right]^{1/2}$$

Eddington (1914, p.147) 和 Fisher (1920, p. 762 的脚注) 之间关于$d_n$ 和 $s_n$.[...] 费舍尔似乎解决了这个问题，指出对于正常观察$s_n$比效率高约 12%$d_n$.

通过条件均值之间的关系$\hat{y}$和无条件均值$\bar{x}$类似的论点适用于残差。

两者都完成了。

最小二乘更容易，而且对于独立随机变量“方差添加”这一事实意味着它更方便；例如，划分方差的能力对于比较嵌套模型特别方便。它在正常情况下效率更高（最小二乘是最大似然），这似乎是一个很好的理由 - 但是，一些具有高细分的稳健估计器在正常情况下可能具有令人惊讶的高效率。

但是 L1 规范肯定用于回归问题，而且这些天相对经常使用。

如果您使用 R，您可能会发现第 5 节中的讨论很有用：

https://socialsciences.mcmaster.ca/jfox/Books/Companion/appendices/Appendix-Robust-Regression.pdf

（尽管它之前的关于 M 估计的东西也是相关的，因为它也是一个特例）

尚未提及的一件事是独特性。如果解释变量的矩阵是满秩的，那么最小二乘法总是会产生一个“最佳”答案。当最小化残差的绝对值之和时，可能有无限数量的线都具有相同的绝对残差之和（最小值）。应该使用哪一行？

当问题以随机方式表示时：$Y=aX+b+\epsilon$， 在哪里$\epsilon$是正态分布的，最大似然估计是 OLS 估计 - 而不是最小绝对偏差 (MAD) 估计。所以这很好。

此外，OLS 估计和线性代数之间有很强的联系。$\hat{Y}$是一个线性函数$Y$--- 实际上，它是对由自变量定义的子空间的投影。

OLS 会发生很多好事——MAD，但不是很多。正如@user603 指出的那样，OLS 效率更高（正常模型适用的地方）。当然，它不那么健壮。