Dirchlet 条件表明，如果信号是绝对可加和的，则信号的 DTFT 肯定存在。这是一个充分条件，但不是必要条件。
有像理想低通滤波器这样的系统，它们不是绝对可累加的。绝对可和条件是稳定性的充分必要条件。因此，我可以找到系统产生无界输入的有界输入。
对于这样的系统，它们不是绝对可加的，而是绝对平方可加的，我们以相同的方式定义 DTFT，并认为即使存在非零误差，误差的能量也是 0，这本质上产生了吉布斯现象.
但是的条件与稳定性无关，仅取决于线性和移位不变性。从这个定义中，我可以找到一个有界输入，它将产生无界输出。但是关系，也与稳定性无关。即使我考虑到吉布斯现象，我也无法推断出会产生无界输出的有界输入的存在，这实质上表明有界输入将给出有界输出这一事实。
我哪里错了？
与系统的稳定性无关，这通常是不正确的。对于具有有理传递函数的系统（即，可以用微分或差分方程描述的系统），频率响应，即脉冲响应的傅里叶变换，只存在于稳定系统中。对于在虚轴上（对于连续时间系统）或在单位圆上（对于离散时间系统）具有极点的边缘稳定系统，如果我们在傅里叶变换的表达式中允许狄拉克增量脉冲，则傅里叶变换存在。因此，对于边缘稳定的系统，您可以看到输出可能变得无界，即使对于有界输入信号，由于其频率响应中的狄拉克增量脉冲。对于右半平面上传递函数极点的不稳定因果系统，频率响应不存在。
对于不存在传递函数但确实具有频率响应的系统，例如理想的频率选择滤波器（低通、高通等），关系式成立，无论稳定性如何。理想的频率选择滤波器是不稳定的（非因果的），但它们的频率响应是有限的。这意味着产生无界输出（如果存在）的有界输入信号的频率响应对于至少一个的傅里叶逆变换必须产生一个无界的时域信号。另请注意，不能保证傅里叶变换甚至存在产生无界输出信号的有界输入信号。如果它存在，从表达式中通常不会立即清楚对应的逆变换是无界的。
我认为关系以某种方式暗示有界输入必须导致有界输出是一种误解。要查看输出是否无界并不是那么容易，因为必须计算
如果表达式变得无界的每个值。在这种情况下，直接时域分析更为直接。