你的推理是正确的。对于（不一定是线性的）时不变系统，以下始终成立：如果$y(t)$是对输入信号的响应$x(t)$， 然后$y(t+T)$必须是对移位输入信号的响应$x(t+T)$. 如果输入是周期性的$T$，这意味着$x(t)=x(t+T)$， 因此，$y(t)=y(t+T)$，即输出信号是周期性的，与输入信号的周期相同。

此外，如果系统是因果的并且输入是及时的$t_0$是周期性的，输出到时间$t_0$也必须是周期性的，因为因果系统无法知道时间之外的（可能是非周期性的）输入$t_0$.

这是（部分）理论。但随后@MBaz 带着他的理想积分器的“反例”出现了。正如评论中已经指出的那样，这里的问题确实是积分器的不稳定性。显示线性系统的时不变性涉及操纵卷积积分。但是，如果对于给定的输入信号积分是发散的，则证明无效。具有极点的系统就是这种情况$j\omega$-轴（或者，对于离散时间系统，在单位圆上）。如果 LTI 系统有一个极点$j\omega$轴，如果你用相应的极点频率激励它，你会得到一个幅度增加的输出信号，这显然是非周期性的。您还可以通过以下方式查看它：LTI 系统对复指数的响应$e^{j\omega_0 t}$是

方程。(1) 当然要求$H(\omega_0)$可以评价。对于理想的积分器来说，情况并非如此$\omega_0=0$. 请注意，如果积分器的输入信号没有直流分量，那么对周期性输入信号的响应确实是周期性的。

我相信答案是否定的：周期性输入并不意味着周期性输出。

一个例子：让输入是一个幅度为 1 和 0 的方波，并且让时不变系统是一个积分器。系统的输出是单调的，因此不是周期性的。