其实动机很简单。

当你有一个线性电路并且你只用一个频率刺激它时，无论你往哪里看，你总是会发现那个频率非常相同，只有你测量的波的幅度和相位会发生变化。

然后你要做的就是说好让我们忘记频率，如果我跟踪电路周围电压和/或电流的幅度和相位，那将绰绰有余。但是你怎么能这样做呢？没有任何数学工具可以让您跟踪幅度和相位吗？是的，你知道了：向量。一个向量有一个幅度，即它的长度，和一个相位，即它与 x 轴形成的角度，ccw 方向为正。

现在你可以反对 ok 向量很酷，但不是更酷吗？为什么我们需要使用虚数单位？

第二个问题的答案很简单：用向量进行计算是一件很痛苦的事，一种符号的痛苦：

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

仅此而已！好吧，这只是一个符号问题，如果我们选择的另一个基数，事情可能会更好......而且这个基数恰好存在，但需要虚数单位。之前的混乱变成： 容易多了，不是吗？$\mathbb{R}^2$$j$

$$2+3j+1+7j=3+10j$$

好的，但是什么与电压有共同的虚矢量呢？试着想象一下高斯平面，x 轴是实轴，y 轴是虚轴。

电压可以用一个以原点为中心的矢量来表示，它的长度等于电压值，它的起始角等于相位。现在魔术技巧：开始旋转矢量，使其角速度对应于所需的频率：$\omega$

巴姆。这就是我们所说的相量，而那个小家伙是对抗艰难电路的最强武器。

那么为什么这些相量是特殊的呢？那是因为如果你取两个实际电压： 并且你想将它们相加，碰巧的是，如果您将相应的相量相加，然后返回实际域，结果是相同的。这当然不是魔法，它取决于余弦和复指数之间的数学亲和力。相信我，或者相信这张很酷的照片：

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$

最棒的是，到目前为止，您所研究的所有实际电路分析都在使用相量和复阻抗。那就是：欧姆定律适用于相量和复阻抗，这很好，因为我们有大量的工具来解决基于欧姆和基尔霍夫定律的电路，而且我们仍然可以使用它们。

使用相量进行导数/积分也非常容易：如您所知，由于我们谈论的是相同频率的正弦和余弦，这只是相移的问题，如果您使用复指数表示。

TL;DR：正弦曲线表示为极平面上的旋转矢量，这很像在它们旋转和拍照时停止时间，即计算相位和幅度关系。只需查看维基百科上的相量页面。并检查这个其他更简洁的答案。

引用：“是不是单纯从数学的角度来让电路的分析变得更容易？”

我不确定这部分问题是否已经得到充分回答。因此：是的 - 使用复杂的数学来描述正弦信号没有直接的物理相关性。这只是为了“使分析更容易”。

例如：将欧拉著名的正弦信号公式引入傅里叶级数会导致负频率（与正频率对称）。因此，问题出现了：负频率是否存在于现实中？答案是不！它只是一个有用的数学工具。

假设我们有一个带有电压源的简单电路$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$与带电感的感应线圈串联$L$. 然后，

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

这给我们带来了什么？好吧，我们可以简单地将线圈视为具有值的电阻器$j\omega L$然后我们可以替换$v(t)$与常数$v_o = Ve^{j\phi}$. 在这个简化的电路中，我们使用欧姆定律找到$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$. 然后为了找到实际值$i(t)$我们简单地相乘$i_o$和$e^{j\omega t}$并把它作为真正的一部分。这可以扩展到所有无源组件。因此，我们可以 用复数对所有交变量进行建模，从而简化过程中的所有计算。然后，我们可以在需要时将它们改回它们的非复杂形式。

我假设我们同意它们是表示任何时刻交流信号的两条信息，幅度和相位，而它们只是直流的幅度。

我们需要处理信息的不仅仅是分析，还有电路的设计。组件具有阻抗，并影响交流信号。因此，当我们进行设计时，我们需要能够计算阻抗，以便设计具有特定交流特性的电路。

复数便于表示和计算交流信号和阻抗。长度和角度这两个维度允许我们一起计算幅度和相位，并保持它们一致。