基本的反馈方程不需要任何微积分或高级数学，只需要简单的代数。它应该在高中水平的数学范围内。我发现如果你首先用文字描述正在发生的事情，然后通过写方程来跟进，那么方程会更好地工作。您甚至可以通过对口头描述建模来邀请学生提出方程式。我通常会这样解释反馈：

运算放大器是一个非常简单的电子积木，它将两个电压之间的差乘以大增益：

$$Out = G(Vp - Vm)$$

是的，真的就是这么简单。G 是一个非常大的数字，通常至少为 100,000，但也可以更多。这太高了，无法单独使用，而且各个部分可能会有很大差异。例如，如果我们想制作麦克风前置放大器之类的东西，我们只想要大约 1000 的增益。所以运算放大器给我们提供了非常高且不可预测的增益，但我们通常想要的是低得多且可预测的增益。这是否意味着运算放大器用处不大？一点也不，因为有一种技术可以利用运算放大器的狂野和毛茸茸的原始增益来制作具有良好表现和可预测增益的电路。这种技术被称为负反馈。

负反馈意味着从输入中减去一部分输出。一开始这有点难以理解，所以让我们考虑一下这个电路：

请注意 R1 和 R2 如何形成我们上周谈到的分压器。在本例中，分压器的输出为 Out 的 1/10。由于它进入运算放大器的负输入，因此在乘以增益之前，它会从输入 (Vp) 中减去。用数学术语来说：

$$Vm = \frac{Out}{10}$$

这本身没有用，因为我们真正想知道的是作为输入函数的 Out 是什么，我们称之为 Vp。谁有任何想法如何进行？（希望其中一位学生描述这一点或来到董事会向全班展示这一步）。

为了弄清楚这个电路到底在做什么，这意味着要知道 Out 是 Vp 的函数，我们只需将 Vm 的方程代入上面的运算放大器方程：

$$Out = G \Big(Vp - \frac{Out}{10} \Big)$$

经过一些重新安排

$$Out = \frac{10}{1 + \dfrac{10}{G}} Vp$$

这看起来很乱，但想想当 G 很大时这真正意味着什么，这首先是我们的问题。10/G 项非常小，因此加到 1 后仍大部分为 1。从 Vp 到输出的总增益只有接近 1 的 10，所以基本上是 10。我们也可以通过查看电路看到这一点。假设我们用 1 伏驱动 Vp。如果输出是 5 伏，会发生什么？Vm 将有半伏特。那么运算放大器会做什么呢？它取 Vp 的 1 伏，从中减去 Vm 的半伏，然后将所得的半伏乘以一个大数。如果 G 为 100,000，则运算放大器希望输出为 50,000 伏。它不能那样做，所以它会使输出尽可能大。那么Vm会发生什么？它会上升。最终它将达到 1 伏的 Vp 电平。此时运算放大器停止尝试产生较大的输出电压。如果输出太高，Vm 将高于 Vp，运算放大器会将差值（现在为负）乘以它的大增益，然后将输出拉低。

因此我们可以看到，如果运算放大器使输出使 Vm 高于 Vp，它会迅速将输出拉低。如果它太低并且 Vm 小于 Vp，它将驱动输出更高。这种立即的上下调整将导致它产生任何它必须的输出，以便 Vm 几乎跟随 Vp。我说“差不多”是因为 Vp 和 Vm 之间仍然需要微小的差异才能真正将运算放大器输出驱动到正确的 Out，但是正如您所看到的，这种差异会非常小，因为 G 太大了。这个微小的差异是整个电路方程中的 10/G 试图告诉我们的。

让我们做一些例子。如果 G 为 100,000，从 Vp 到 Out 的电路总增益是多少？没错，9.9990。现在如果 G 是 500,000 怎么办？9.9998。我们只是将 G 改变了 5 倍，但电路增益改变了 0.008%。那么G有什么关系吗？不一定，只要够大就行。请记住，这是运算放大器的问题之一。增益很大，但可以变化很大。一个部分可能有 100,000 的收益，而接下来的 500,000。在这个电路中，这无关紧要。无论我们碰巧从垃圾箱中挑选出什么运算放大器，我们都能获得基本 10 的良好且稳定的增益。请记住，这正是我们打算做的。

可是等等。在我们结束一天并祝贺自己解决了世界上所有的问题之前，请记住这 10 个是从哪里来的。那是来自分压器值。我们的整体电路增益由该分压器控制。事实上，它是反馈到输入的输出部分的 1。我们称这个分数 F，反馈分数，在这个例子中是 1/10。回到最后一个等式，只要与 G 相比，整体电路增益很小，整体电路增益将基本上为 1/F。那么，如果我们需要 2 的整体增益呢？我们可以改变什么来得到它？是的，我们可以使 R1 为 100Ω，或 R2 为 900Ω。事实上，只要 R1 和 R2 相等，分压器就会除以 2，F 就是 1/2，因此整个电路增益为 2。

显然还有很多东西可以说和从这里开始，但是这个关于负面反馈的基本介绍和它背后的数学都在一个合理的高中水平范围内。当然，在与学生互动的真实现场漫游中，这比在网页上的单向写作要好得多，但希望你能明白这一点。

我想对反馈电路的工作原理有一个直观的解释。

一种可以帮助学生可视化反馈的方法是想象用电压表、学生助手和可变电压电源替换运算放大器（例如，在反相配置中）。

电压表引线是“运放”的输入端；红色引线是非反相的（在这种情况下接地），黑色引线是反相的（并连接到两个电阻的结点）。

可变电压电源的正极端子是“运算放大器”的输出，而负极端子接地。

学生要监控电压表并调整可变电压供应，使电压表始终读数为零伏。

学生应该很清楚，如果输入电压为正，他们会将可变电压电源调整为负，以保持电压表读数为零。

而且，应该很清楚，如果反馈电阻是输入电阻的两倍，他们将不得不将可变电源调整为输入电压（负）的两倍。

因此，假设学生足够精确和快速，输出将是输入电压的 -2 倍。

解释基本的运算放大器反馈不需要微积分，只需要简单的代数。只有当您尝试分析包含电抗组件（电容器和线圈）的基于反馈的系统的动态行为时，微积分才会真正发挥作用。

解释高增益 + 负反馈如何导致“虚拟做空”的概念很简单。

如果您将运算放大器定义为

\$V_{out} = G \cdot (V+ - V-)\$

和反馈为

\$V- = K \cdot V_{输出}\$

然后简单的替换给出

\$V+ - V- = \dfrac{V_{输出}}{G} = \dfrac{V-}{G \cdot K}\$

求解 \$V_-\$：

\$V- = \dfrac{V+}{1 + \dfrac{1}{G \cdot K}}\$

现在你指出如果 G 是一个非常大的数（不管 K 的值如何，它通常是小于 1 的数），那么术语 \$\dfrac{1}{G \cdot K}\$ 必须是一个非常小的数字，这意味着 V- 和 V+ 之间的差异基本上为零 - 短路。

对于较大的 G 值（更理想的运算放大器），效果会变得更强，而对于较小的 K 值（较弱的反馈），效果会变得更弱。

理解反馈理论的一个简单方法是考虑水泵。现在，如果你进来打开水泵的水龙头，就会有很多水从里面流出。如果你打开更多的水龙头，更多的水会流出等等。这是开环运算放大器。

现在，如果应用了反馈，这意味着如果更多的水从泵中流出，它会自动将水龙头“向下”以减少水流量。最终，根据水龙头“向下”转动的程度，我们可以流出一小滴水。这是闭环运算放大器。

如果水流量增加，“关闭”水龙头的能力称为反馈，我们可以通过运算放大器中的电阻器进行控制。因为我们将输出反馈到输入（水龙头的水位），所以我们称之为反馈。

现在为什么我们需要负反馈来保持稳定性？因为当水位增加时，如果水龙头也增加，那么我们会得到一个“巨大的”流量并且系统不稳定（正反馈）。但是，如果水位升高，负反馈会减少水龙头，从而为我们提供最佳输出。