圆周运动自然产生正弦波：-

这只是一件非常自然和基本的事情，尝试产生不同的波形要么更复杂，要么会导致不必要的副作用。

上下运动（本质上）产生一个正弦波与时间：-

余弦波和正弦波（实际上它们以复指数的形式组成）是线性时不变系统的特征函数，具有与时间相关的系统响应 $$\begin{align}f\bigl(a(t)+ b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{线性}\\ f\bigl( a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{时间不变性}\end{align}$$ 如果你从线性无源构建任何网络组件（此 StackExchange 上的电阻器、电感器、电容器）并为其提供连续的正弦信号，然后网络中的任何点都将提供可能不同相位和幅度的连续正弦信号。

通常不会保留其他波形形状，因为不同输入频率的响应会有所不同，因此如果您将某些输入分解为其具有唯一频率的正弦分量，请检查网络对这些的各个响应，并重新组合生成的正弦信号，结果通常不会在其正弦分量之间具有与最初相同的关系。

所以傅里叶分析非常重要：无源网络直接响应正弦信号，因此将所有内容分解为正弦信号并返回是分析电路的重要工具。

事物根据正弦和余弦振荡。机械、电气、声学，应有尽有。将质量挂在弹簧上，它会根据正弦函数以其共振频率上下弹跳。LC 电路的行为方式相同，只是使用电流和电压而不是速度和力。

正弦波由单个频率分量组成，其他波形可以通过叠加多个不同的正弦波来构建。您可以通过在频谱分析仪上查看信号来查看信号中的频率分量。由于频谱分析仪会在您正在查看的频率范围内扫描一个窄滤波器，因此您将在信号包含的每个频率处看到一个峰值。对于正弦波，您将看到 1 个峰值。对于方波，您将看到峰值 af、3f、5f、7f 等。

正弦和余弦也是旋转物体的投影。以交流发电机为例。交流发电机在线圈旁边旋转磁铁。当磁铁旋转时，由于磁铁而撞击在线圈上的磁场将根据轴角的正弦变化，从而在线圈上产生一个电压，该电压也与正弦函数成正比。

在更数学和物理意义上，为什么正弦和余弦恰好是波的基础，其根源在于勾股定理和微积分。

勾股定理给了我们这个宝石，正弦和余弦：

$$ \mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R} $$

这使得正弦和余弦在散布在整个物理世界的平方反比定律中相互抵消。

通过微积分，我们有这个：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x $$

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x $$

这意味着任何形式的微积分运算都会保留正弦和余弦，如果它们中的一个是完美的。

例如，当我们在胡克定律中求解物体的瞬时位置时（到处都是类似的形式），我们有这个：

$$ -kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x $$

而解恰好是\$x=\mathrm{sin}(t)\$ 的线性函数。