标准格式

一段时间以来，已经为这些方程开发了标准形式。这是有原因的。但我马上就会谈到这一点。

您的案例通常的一阶低通标准形式是：

$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=K\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{_0}}}$$

这里，\$K\$是增益，\$\omega_{_0}\$是截止频率。经常使用这两种形式，尽管此时正确的形式有\$K\$正好在一个地方，而\$\omega_{_0}\$正好在一个地方，所以这可能会更好。但是，当您获得二阶标准表格时，就有理由更倾向于左表格。但那是另一次了。

无论您使用哪种，如果您设置\$\omega_{_0}=1\$和\$K=1\$那么您会得到：

$$G_s=\frac1{1+s}$$

如果你对\$s=j\,\omega\$ 的所有值进行研究（设置\$\sigma=0\$以忽略指数部分，而只关注频率行为），那么你知道所有此类一阶低通滤波器的行为。当您决定关心它时，您所要做的就是为\$\omega_{_0}\$缩放绘图。但是您不必为所有\$\omega_{_0}\$研究它，因为除了转换之外没有真正的区别。曲线看起来都一样。（对于\$K\$类似，这只是一个增益因子——当您研究\$K=1\$情况时，曲线基本相同。）

所以你的目标是把你的传递函数变成标准形式。

你的案例

我喜欢你尝试了几种不同的方式。这是一个重要的实践。坚持下去。我喜欢您使用两个电阻器作为分压器来帮助简化问题的方法。但是，让我采取一些不同的方法来添加您已经做过的事情。

我宁愿不使用\$j\,\omega\$而是始终使用\$s\$。就是写的少了。但它也更普遍。我总是可以决定\$\sigma=0\$然后它减少到你所做的。但是，当一个符号足够好且工作量较少时，为什么还要费力写出两个符号呢？

让我们将\$R_\text{L}\$与\$C\$并行处理以创建\$Z_\text{L}\$。那么我们仍然可以使用分频器的方法。我们有\$Z_\text{L}=R_\text{L}\mid\mid C=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L} +\frac1{s\,C}}\$。所以：

$$\begin{align*} G_s&=\frac{Z_\text{L}}{Z_\text{L}+R}=\frac{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\ ,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}}{\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L} +\frac1{s\,C}}+R}\cdot\frac{R_\text{L}+\frac1{s\,C}}{R_\text{L}+\frac1{s\,C} }=\frac{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}}{R_\text{L}\,\frac1{s\,C}+R\left(R_\text{L} +\frac1{s\,C}\right)}\\\\ &=\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R\left(R_\text{L}\,C \,s+1\right)}\cdot\frac{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}{\frac1{R_\text{L}\,R\,C}}= \frac{\frac1{R\,C}}{s+\frac1{C}\left(\frac1{R_\text{L}}+\frac1{R}\right)}\\\\ &=\frac {\frac1{R\,C}}{s+\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right)\,C}} \end{align*}$$

您可以设置\$\alpha_{_0}=\frac1{R\,C}\$和\$\omega_{_0}=\frac1{\left(R_\text{L}\mid\mid R\right) \,C}\$得到\$G_s=\frac{\alpha_{_0}}{s+\omega_{_0}}\$。但是那里缺少\$K\$，我们想提取它，因为知道它是什么真的很好。由于我们知道\$\alpha_{_0}=K\,\omega_{_0}\$，因此\$K=\frac{\alpha_{_0}}{\omega_{_0}}=\frac{ R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\$，就是那个电阻分压器网络！

所以，

$$G_s=K\frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\ frac{\omega_{_0}}{s+\omega_{_0}}=\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1 +\frac{s}{\omega_{_0}}}$$

您可以通过替换\$\omega_{_0}\$并乘以\$\frac{R}{R}\$来恢复您的表格（这绝对不是标准的） ：

$$\begin{align*} G_s&=\left[\frac{R}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}}{R_\text{L}+R}\right] \frac{1}{1+\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{ 1}{R}\right]\left[\frac{R_\text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\right]\frac{1}{1+\frac{R_\ text{L}\,R}{R_\text{L}+R}\,C\,s}\\\\ &=\left[\frac{1}{R}\right]\frac{R^ {'}}{1+R^{'}\,C\,s} \end{align*}$$

所以你是对的。

但是您应该练习将事物转换为标准形式。它可以更快地阅读含义。

书错了。你说的对。您可以通过在左侧和右侧插入随机的一组值来进行验证。它们相差 1/R 倍。

在这种情况下，它甚至不需要是复杂的值。只需将 jwC 替换为某个实数（即，如果您在计算复数结果时遇到问题，请将 C 视为一个电阻器）。

我以不同的方式简化了传递函数 (1)，并且在替换之前也以不同的方式定义了 \$ R^\prime \$ (2)。 $$ H=\frac{V_{out}}{V_{in}} =\frac{R^\prime}{R+R^\prime} =\frac{1}{1+\frac{R}{ R^\prime}} \tag{1} $$

其中： $$ R^\prime=\frac{1}{j\omega C}||R_L =\frac{R_L}{1+j\omega C R_L} =\frac{1}{\frac{1} {R_L}+j\omega C} \tag{2} $$

因此： $$ \frac{R}{R^\prime}=\frac{R}{\frac{1}{\frac{1}{R_L}+j\omega C}} =R\left(\frac {1}{R_L}+j\omega C\right) =\frac{R}{R_L}+j\omega CR \tag{3} $$

代入 (1) 中的\$ \frac{R}{R^\prime} \$得到： $$ H=\frac{1}{1+R\left(\frac{1}{R_L}+j\欧米茄 C\right)} =\frac{1}{1+\frac{R}{R_L}+j\omega CR} \tag{4} $$

我希望您发现这种不同的方法很有帮助。