1 kHz 的正弦波只包含一个频率：1 kHz。让我们用数学来描述：

\$x = sin(2 \pi ft) \$

其中\$f\$是 1 kHz，\$t\$等于时间，\$X\$是正弦信号。

如果放大器是理想的，那么它只会放大信号，即增加幅度：

\$y = A x = A sin(2 \pi ft)\$

请注意，它仍然只是一个正弦波，只有幅度（最小值和最大值）发生了变化。

但那是一个线性放大器，它不会引入谐波。

现在，如果放大器失真怎么办。

你还记得泰勒级数吗？这是一种以多项式形式表达任何函数的方法，如下所示：

\$y = A x + B x^2 + C x^3 ...\$

我在那里写的是泰勒展开式，它描述了带有失真的放大器的行为。

如果你填写\$x = sin(2 \pi ft) \$你会得到\$sin(2 \pi ft) \$ , \$x = sin^2(2 \pi ft) \$和\$ x = sin^3(2 \pi ft) \$项，这些是谐波频率。

请注意，除了\$x = sin^n(2 \pi ft) \$之外，没有其他方法可以获取术语，因此无法获得不是\$x\$基本频率的倍数的频率。

奖金问题：

获得其他（非谐波）频率需要什么？

使用正弦波作为输入，没有办法。但是如果我们结合两个或多个不同频率的正弦波，那么我们可以得到互调产物。例如，将\$x\ $ 设为由 1 kHz ( \$f_1\$ ) 和 200 Hz ( \$f_2\$ ) 音调组成的信号：

\$x = sin(2 \pi f_1 t) + sin(2 \pi f_2 t)\$

然后在失真放大器的输出端，我们将找到和频和差频，因此我们将得到：

• 200赫兹
• 400 Hz（2 x 200 Hz，\$f_2\$的二次谐波）
• 600 Hz（3 x 200 Hz，\$f_2\$的三次谐波）
• 800 赫兹（1 kHz - 200 赫兹）
• 1kHz
• 1.2 kHz（1 kHz + 200 Hz）
• 1.4 kHz（1 kHz + 2 x 200 Hz）
• 等等等等

请注意它们是如何相隔200 Hz ( \$f_2\$ ) 的！

存在多少频率分量取决于放大器失真的程度和信号的幅度。

傅里叶说，任何周期波都可以由基波及其各种比率的谐波组成。

图 1. Lucas V. Barbosa 在 Wikipedia 的傅立叶变换页面上对傅立叶变换的精彩插图展示了周期性波形从时域到频域的变换。频率图清楚地显示了谐波的相对强度，这是盯着时间图无法获得的。

• 很明显，时域波形越平方，那么您将拥有的谐波越多，这些在频域中应该是可见的。

我在学习音频系统时遇到了这个问题。他们依靠 THD 作为保真度的衡量标准（对于非削波信号），但这让我感到困惑，为什么失真会落入表现良好的谐波中......

如果谐波不是基波的整数倍，则根据定义，它们不是谐波。如果您像示例中那样将基本f与f × 1.8 混合，那么它们会跳动并且仅每五个基本周期（以及九个“谐波”周期）进入相位。结果将是具有新基频f/5的不同波形。

图 2. 基本（蓝色）、基本 × 1.8（橙色）和总和（红色）。

很大一部分电子电路（包括音频）属于“时不变电路”（线性电路或非线性电路）的范畴。

要了解什么是其他电路，逻辑上称为“时变电路”，只需意识到它们需要某种时钟，例如内部振荡器（可能是拉森效应，或一些自动产生的热噪声）或外部（50 Hz 或 60 Hz 嗡嗡声）。所有“惰性”（1）电路都是“时不变的”，因为它们不“意识到”时间（！）。

现在，添加“时不变电路”对周期信号的时间响应也是一个周期信号这一事实，并且在相同的频率下，添加一点数学“à la Fourier”，你会看到失真可以'不是谐波。

(1) 可以说“没有活着”

那是因为如果你有一个正弦波，比如 1 kHz，它只有一个频率，周期为 1ms。如果你扭曲它，它就不再是一个纯正弦波，所以它必须有其他频率。由于失真波形的周期都是相同的，并且它们仍然以 1ms 周期性发生，这意味着基频仍然是 1 kHz，因此没有任何分量不以某种方式周期性地 1ms ，所以它们都必须具有将整个正弦周期的整数倍拟合到 1ms 。如果存在 1.8 kHz 分量，这将使时域中的信号周期不再是 1ms，而是其他的。所以谐波只能是 1kHz 的整数倍。