设置

我们考虑一个具有输入信号 \$x(t)\$ 的系统，为清楚起见，我们在必要时将 \$x(t)\$ 的值称为电压。我们的采样周期为\$T\$，对应的采样率为\$f_s\triangleq 1/T\$。

对于傅里叶变换，我们选择约定 $$ X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{ -i 2 \pi ft} \mathrm{d}t, $$ 给出逆傅里叶变换 $$ x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi ft} \mathrm{d}f. $$ 请注意，根据这些约定，\$X\$ 是拉普拉斯变量 \$s = i \omega = i 2 \pi f\$ 的函数。

理想采样和重建

让我们从理想采样开始：根据Nyquist-Shannon 采样定理，给定一个带限为 \$f < \frac{1}{2} f_s\$ 的信号 \$x(t)\$，即 $$ X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{当 }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s, $$ 那么原始信号可以从样本\$x[n] \triangleq x(n T)\$ 中完美重构，其中 \$n\in \mathbb{ Z}\$。换句话说，给定信号带宽的条件（称为奈奎斯特准则），知道它在等距离散时间点的瞬时值就足够了。

采样定理还给出了一种明确的重构方法。让我们以一种有助于以下内容的方式证明这一点：让我们通过其黎曼和步长来估计信号 \$x(t)\$ 的傅里叶变换 \$X(i 2 \pi f)\$ \$T\$: $$ X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi fn \Delta t} \Delta t, $$ 其中 \$\Delta t = T\$。让我们将其重写为积分，以量化我们所犯的错误： $$ \begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi fn T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi ft}T \delta(t - n T) \mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T),\$x(t)\$ 与采样函数\$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)\$乘积的卷积定理，傅里叶变换采样函数为 \$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)\$，并对 delta 函数进行积分。

注意左边正好是\$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)\$，其中\$ X_{1/T}(i 2 \pi f T)\$是离散的对应采样信号 \$x[n] \triangleq x(n T)\$ 的时间傅里叶变换，其中 \$f T\$ 是无量纲离散时间频率。

在这里，我们看到了奈奎斯特准则背后的根本原因：这正是保证总和项不重叠所必需的。使用 Nyquist 准则，上述总和减少为从区间 \$[-f_s/2, f_s/2]\$ 到整个实线的频谱的周期性扩展。

由于 \eqref{discreteft} 中的 DTFT 在区间 \$[-f_s/2, f_s/2]\$ 中具有与原始信号相同的傅里叶变换，因此我们可以简单地将其乘以矩形函数 \$\mathrm{ rect}(f/f_s)\$ 并取回原始信号。通过卷积定理，这相当于将狄拉克梳与矩形函数的傅里叶变换进行卷积，在我们的约定中是 $$ \mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \ mathrm{sinc}(t/T), $$ 其中归一化的 sinc 函数是 $$ \mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}。$$ 卷积然后简单地将 Dirac 梳中的每个 Dirac delta 替换为 sinc 函数，该函数转移到 delta 的位置，得到 $$ x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n ] \mathrm{sinc}(t/T - n)。\tag{2} \label{sumofsinc} $$ 这是Whittaker-Shannon 插值公式。

非理想抽样

要将上述理论应用于现实世界，最困难的部分是保证带宽限制，这必须在采样之前完成。出于此答案的目的，我们假设这已经完成。剩下的任务是对信号的瞬时值进行采样。由于真正的 ADC 需要有限的时间来形成对样本的近似值，因此通常的实现方式会将信号值存储到采样保持电路中，从该电路中形成数字近似值。

尽管这非常类似于零阶保持，但它是一个独特的过程：从采样保持中获得的值确实是信号的瞬时值，直到信号保持恒定的近似值为保持采样值的电容器充电所需的持续时间。这通常可以通过现实世界的系统很好地实现。

因此，我们可以说，忽略带宽限制问题的现实世界 ADC 非常接近理想采样的情况，特别是来自采样保持的“阶梯”不会导致任何误差自行采样。

非理想重构

对于重构，目标是找到一个电子电路来完成 \$\eqref{sumofsinc}\$ 中出现的 sincs 和。由于 sinc 的时间范围是无限的，因此很明显这不能完全实现。此外，形成这样的信号总和，即使是合理的近似值，也需要多个子电路，并且很快就会变得非常复杂。因此，通常使用更简单的近似值：在每个采样时刻，输出对应于采样值的电压，并保持恒定直到下一个采样时刻（尽管有关替代方法的示例，请参见Delta-sigma 调制）。这是零阶保持, 对应于用矩形函数 \$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)\$ 替换我们上面使用的 sinc。评估卷积 $$ (1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right), $$ 使用 delta 函数的定义属性，我们看到这确实导致了经典的连续时间阶梯波形。\$1/T\$ 的因子进入取消\eqref{discreteft} 中引入的\$T\$。从脉冲响应的单位是 1/时间这一事实也可以清楚地看出需要这样的因子。

\$-1/2 T\$ 的转变只是为了保证因果关系。这仅相当于输出相对于使用 \$1/T \mathrm{rect}(1/T)\$ 的 1/2 样本的偏移（这可能会在实时系统中或在非常精确地同步到外部events 是必需的），我们将在下面忽略它。

与 \eqref{discreteft} 相比，我们用函数 \$1 的傅里叶变换替换了频域中的矩形函数，这使得基带完全不受影响，并删除了频谱的所有高频副本，称为images 。 /T \mathrm{rect}(t/T)\$. 这当然是 $$ \mathrm{sinc}(f/f_s)。$$

请注意，逻辑与理想情况有些相反：我们定义了我们的目标，即在频域中删除图像，并在时域中得出结果。在这里，我们定义了如何在时域中重建（因为这是我们知道如何做的），并在频域中推导出结果。

所以零阶保持的结果是，我们最终得到的不是频域中的矩形窗口，而是 sinc 作为窗口函数。所以：

• 频率响应不再受带宽限制。相反，它衰减为 \$1/f\$，较高频率是原始信号的图像
• 在基带中，响应已经显着衰减，在 \$1/2 f_s\$ 处达到约 -4 dB

总体而言，零阶保持用于近似出现在 Whittaker-Shannon 插值公式中的时域 sinc 函数。采样时，外观相似的采样保持是对估计信号瞬时值问题的技术解决方案，本身不会产生任何误差。

请注意，重建过程中也不会丢失任何信息，因为我们总是可以在初始零阶保持之后滤除高频图像。增益损失也可以在 DAC 之前或之后通过反 sinc 滤波器进行补偿。因此，从更实际的角度来看，零阶保持用于构建理想重构的初始可实现近似，然后可以在必要时进一步改进。

零阶保持的作用是逼近出现在采样定理中的 delta 和 \$\mathrm{sinc}\$ -函数，以适当者为准。

为了清楚起见，我考虑了一个带有电压信号的 ADC/DAC 系统。但是，以下所有内容适用于任何具有适当单位更改的采样系统。我还假设输入信号已经被神奇地限制带宽以满足奈奎斯特标准。

从采样开始：理想情况下，将在单个瞬间对输入信号的值进行采样。由于真正的 ADC 需要有限的时间来形成它们的近似值，因此瞬时电压由采样保持器近似（瞬时电压由用于对电容器充电的开关时间近似）。因此，从本质上讲，保持将对信号应用 delta 泛函的问题转化为测量恒定电压的问题。

请注意，输入信号乘以脉冲序列或在相同时刻施加零阶保持之间的差异仅仅是解释问题，因为 ADC 将仅存储保持的瞬时电压。一个可以从另一个重建。出于这个答案的目的，我将采用采样信号是形式为 $$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n} 的连续时间信号的解释\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ 其中 \$V_\mathrm{ref}\$ 是 ADC/DAC 的参考电压，\$n\$ 是位数，\$ x_k\$ 是以通常的方式表示为整数的样本，\$\Delta t\$ 是采样周期。这种有点非传统的解释有一个优势，我一直在考虑一个连续时间的信号，

在这种解释中，基带中信号的频谱与原始信号的频谱完全相同，并且脉冲序列的有效卷积具有复制该信号的效果，例如使频谱具有周期性。复制品称为光谱图像。可以看出归一化因子 \$\Delta t\$ 是必要的，例如，通过考虑持续时间 \$\Delta t\$ 的 1 伏脉冲的直流偏移：其直流偏移定义为 \$ f = 0\$ -傅里叶变换的分量是 $$ \hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ 为了从我们的采样版本中得到相同的结果，我们确实必须包含 \$\Delta t\$.* 的因子

理想的重建意味着构建一个与该信号具有相同基带频谱的电信号，并且在此范围之外的频率上没有分量。这与将脉冲序列与适当的 \$\mathrm{sinc}\$-函数卷积相同。以电子方式执行此操作非常具有挑战性，因此 \$\mathrm{sinc}\$ 通常由矩形函数近似，即零阶保持。本质上，在每个 delta 函数中，样本的值在采样周期内保持不变。

为了了解这对重建信号有什么影响，我观察到保持完全等同于将脉冲序列与矩形函数 $$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{ 卷积1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ 这个矩形函数的归一化是通过要求正确再现恒定电压来定义的，或者换句话说，如果在采样时测量了电压\$V_1\$，则在重建时输出相同的电压。

在频域中，这相当于将频率响应与矩形函数的傅里叶变换相乘，即 $$ \hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}( \pi \Delta tf)。$$ 请注意，DC 处的增益为 \$1\$。在高频下，\$\mathrm{sinc}\$ 会像 \$1/f\$ 一样衰减，因此会衰减频谱的图像。

最后，由零阶保持产生的 \$\mathrm{sinc}\$-函数在信号上表现为低通滤波器。请注意，在采样阶段不会丢失任何信息（假设 Nyquist 标准），原则上，重构时也不会丢失任何信息：\$\mathrm{sinc}\$ 在基带中的滤波可以通过反向过滤器（有时确实会这样做，例如参见https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853）。\$\mathrm{sinc}\$ 的适度 \$-6\mathrm{dB/octave}\$ 衰减通常需要某种形式的滤波来进一步衰减图像。

另请注意，可以物理再现分析中使用的脉冲序列的虚构脉冲发生器将在重建图像时输出无限量的能量。这也会导致一些毛茸茸的效果，例如对输出进行重新采样的 ADC 将什么也看不到，除非它与原始系统完全同步（它主要在脉冲之间进行采样）。这清楚地表明，即使我们不能精确地对输出进行带宽限制，也总是需要一些近似的带宽限制来规范信号的总能量，然后才能将其转换为物理表示。

总结一下：

• 在两个方向上，零阶保持都充当 delta 函数的近似值，或者它的带限形式，即 \$\mathrm{sinc}\$ -函数。
• 从频域的角度来看，它是消除图像的砖墙滤波器的近似值，因此调节了理想化脉冲序列中存在的无限能量。

*这从维度分析中也很清楚：电压信号的傅里叶变换的单位是 \$\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}}， \$ 而 delta 函数的单位为 \$1/\mathrm{s}\$，这将取消来自变换中积分的时间单位。

傅里叶变换： $$ X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\Big\{x(t)\Big\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x( t) \ e^{-j 2 \pi ft} \ \text{d}t $$

傅里叶逆变换： $$ x(t) = \mathscr{F}^{-1}\Big\{X(j 2 \pi f)\Big\} = \int\limits_{-\infty}^{+ \infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi ft} \ \text{d}f $$

矩形脉冲函数： $$ \operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases} $$

"Sinc" 函数 ("sinus cardinalis") : $$ \operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v) }{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases} $$

定义采样频率\$ f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T} \$作为采样周期\$T\$的倒数。

注意： $$ \mathscr{F}\Big\{\operatorname{rect}\left( \tfrac{t}{T} \right) \Big\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \ frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

狄拉克梳子（又名“采样函数”又名“沙函数”）：

$$ \operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) $$

狄拉克梳是周期性的，周期为 \$T\$。傅里叶级数：

$$ \operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s } t} $$

采样的连续时间信号：

$$ \begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\ infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta (t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align} $$

其中\$ x[n] \triangleq x(nT) \$。

这意味着\$x_\text{s}(t)\$仅由样本\$x[n]\$和采样周期\$T\$ 定义，并且完全丢失了\$值的任何信息x(t)\$表示采样实例之间的时间。 \$x[n]\$是一个离散的数字序列，是\$x_n\$的一种 DSP 速记符号。虽然对于\$ nT < t < (n+1)T \$确实\$x_\text{s}(t) = 0\ $ ，但对于任何\ $x[n]\$的值$n\$不是整数是未定义的。

注意：离散信号\$x[n]\$及其上的所有离散时间运算，如\$\mathcal{Z}\$ -Transform、离散时间傅里叶变换 (DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)，对于采样频率或采样周期\$T\$是“不可知的”。一旦您进入离散时间\$x[n]\$域，您就不会知道（或关心）\$T\$。只有使用Nyquist-Shannon 采样和重建定理，才能将\ $x[n]\$和\$T\$放在一起。

\$x_\text{s}(t)\$的傅里叶变换为

$$ \begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\ {x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left ( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right \} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s } t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s })\right) \\ \end{对齐} $$

关于缩放 的重要说明：采样函数\$ T \cdot \operatorname{III}_T(t) \$和采样信号\$x_\text{s}(t)\$的因子为\$T\$你几乎不会在所有教科书中看到。这是这些教科书作者的一个教学错误，原因有多种（相关）：

1. 首先，省略\$T\$会改变采样信号\$x_\text{s}(t)\$的维度，而不是采样信号的维度\$x(t)\$。
2. 信号链中的某处将需要该\$T\$因子。这些将其排除在采样函数之外的教科书最终将其放入采样定理的重建部分，通常作为重建滤波器的通带增益。 这在维度上令人困惑。有人可能会问：“我如何设计一个通带增益为\$T\$的砖墙 LPF ？”
3. 如下所示，将\$T\$留在这里会导致零阶保持 (ZOH) 的净传递函数和净频率响应出现类似的缩放误差。 我见过的所有关于数字（和混合）控制系统的教科书都犯了这个错误，这是一个严重的教学错误。

请注意，\$x[n]\$的 DTFT 和采样信号\$x_\text{s}(t)\$的傅里叶变换在适当缩放后实际上是相同的：

DTFT: $$ \begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{对齐} $$

可以证明

$$ X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f) \Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}} $$

无论\$x(t)\$是否“正确采样” ，上述数学都是正确的。如果\$x(t)\$可以从样本 \$x[n]\$和采样率或采样周期的知识中完全恢复，则\$x(t)\$是“正确采样的” 。采样定理告诉我们从\$x[n]\$和\$T\$恢复或重建\$x(t)\$需要什么。

如果\$x(t)\$的带宽限制为某个带宽限制\$B\$，这意味着

$$ X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > 乙$$

考虑由原始偏移图像组成的采样信号的频谱：

$$ X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s })\右) $$

原始光谱\$X(j 2 \pi f)\$可以从采样光谱\$X_\text{s}(j 2 \pi f)\ $ 中恢复，如果没有移位的图像，\$X\ left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)\$，重叠它们的相邻邻居。这意味着第\$k\$图像的右边缘（即\$X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)\$）必须完全第 ( \$k+1\$ ) 图像的左边缘的左侧（即\$X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right )\$ )。数学重述，

$$ k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B $$

这相当于

$$ f_\text{s} > 2B $$

如果我们以超过两倍带宽的采样率进行采样，则没有任何图像重叠，原始光谱\$X(j 2 \pi f)\$，也就是\$k=0\$的图像从\$X_\text{s}(j 2 \pi f)\$中提取，使用砖墙低通滤波器保持原始图像（其中\$k=0\$）未缩放并丢弃所有其他图像。这意味着它将原始图像乘以 1，并将所有其他图像乘以 0。

$$ \begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}( j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align} $$

重构滤波器是

$$ H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) $$

并具有非因果 脉冲响应：

$$ h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t) $$

这种滤波操作，表示为频域中的乘法，相当于时域中的卷积：

$$ \begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h( t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT )) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \ \ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end {对齐} $$

这明确说明了原始的\$x(t)\$是如何从样本\$x[n]\$和采样率或采样周期的知识中重建的。

因此，实际数模转换器 (DAC)的输出既不是

$$ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) $$

不需要额外的治疗来恢复\$x(t)\$，也

$$ x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT) $$

其中，使用理想的砖墙 LPF通过隔离和保留基带图像并丢弃所有其他图像来恢复\$x(t)\$ 。

如果没有对数字化信号进行处理或缩放，传统 DAC 的结果是值\$x[n]\$保持在一个恒定值，直到输出下一个样本。这会产生一个分段常数函数：

$$ x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \运算符名{rect}\left(\frac{t-nT - \ frac{T}{2}}{T} \right) $$

请注意应用于\$\operatorname{rect}(\cdot)\$函数的\$\frac{1}{2}\$样本周期的延迟。这使它成为因果关系。它的意思很简单

$$ x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T $$

不同的说法

$$ x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \右）$$

其中\$\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor\$是楼层函数，定义为不超过\$u\$的最大整数。

此 DAC 输出直接建模为接受理想采样信号\$x_\text{s}(t)\$的线性时不变系统 (LTI)或滤波器，并且对于理想采样信号中的每个脉冲，输出此脉冲回复：

$$ h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) $$

插入以检查此...

$$ \begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t ) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^ {+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=- \infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align } $$

DAC 输出\$x_\text{DAC}(t)\$作为具有脉冲响应\$h_\text{ZOH}(t)\$的 LTI 系统的输出，与上面的分段常数构造一致。这个 LTI 系统的输入是采样信号\$x_\text{s}(t)\$明智地缩放，使得 \$x_\text{s}(t)\$ 的基带图像与被采样的原始信号的频谱\$x(t)\$。那是

$$ X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2} $$

原始信号频谱与采样频谱相同，但丢弃所有因采样而出现的图像。

这个 LTI 系统的传递函数，我们称之为零阶保持(ZOH)，是脉冲响应的拉普拉斯变换：

$$ \begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty} ^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-st} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-st} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-st} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{ -s}e^{-st}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

通过代入\$ j 2 \pi f \rightarrow s \$得到频率响应

$$ \begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{ -j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{ \sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{ sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\\end{align}$$

这表明线性相位滤波器具有二分之一采样周期的恒定延迟\$\frac{T}{2}\$，并且增益随着频率\$f\$的增加而减小。这是一种温和的低通滤波器效果。在 DC，\$f=0\$，增益为 0 dB，而在 Nyquist，\$f=\frac{f_\text{s}}{2}\$，增益为 -3.9224 dB。所以基带图像的一些高频分量减少了一点。

与采样信号\$x_\text{s}(t)\$一样，采样信号\$x_\text{DAC}(t)\$中存在采样频率整数倍的图像，但这些图像是幅度显着降低（与基带图像相比），因为\$|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|\$当\$f = k\cdot f_\text{s}\$时通过零对于不为 0 的整数\$k\$，它位于这些图像的中间。

结论：

1. 零阶保持 (ZOH) 是信号重建的线性时不变模型，由实际的数模转换器 (DAC) 完成，它将输出恒定保持在样本值\$x[n]\$ , 直到被下一个样本\$x[n+1]\$更新。

2. 与常见的误解相反，ZOH与模数转换器 (ADC)之前的采样保持电路 (S/H)无关。只要 DAC 在每个采样周期内将输出保持在恒定值，无论 ADC 是否具有 S/H，ZOH 效应都会保持。如果 DAC 输出的不是上面描述为\$x_\text{DAC}(t)\$的分段常数输出（例如旨在近似狄拉克脉冲的窄脉冲序列），则不存在ZOH 效应（取而代之的是）在 ADC 之前是否有 S/H 电路。

3. ZOH 的净传递函数为$$ H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT} $$，ZOH 的净频率响应为$$ H_\ text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) $$ 许多教科书忽略了传递函数分母中的\$T\$因子，而这是一个错误。

4. ZOH显着减少了采样信号\$x_\text{s}(t)\$的图像，但并未消除它们。为了消除图像，需要像以前一样使用良好的低通滤波器。Brickwall LPF 是一种理想化。实际的 LPF 也可能会衰减高频下的基带图像（我们想要保留），并且必须将这种衰减与 ZOH 产生的衰减（小于 3.9224 dB 衰减）一样考虑在内。ZOH 还会将信号延迟半个采样周期，这可能需要考虑（连同抗成像 LPF 的延迟），尤其是在 ZOH 处于反馈环路中时。