我认为使用两倍信号最高频率分量的采样足以完全恢复信号。但在上面它说两次采样会产生锯齿状的波。书错了吗？

这本书是错的，但不是你想的那样。如果你眯着眼睛看表示样本的点，它的采样频率是它所说的频率的两倍。

因此，首先，您应该自己绘制一些信号并对其进行采样（或者使用数学包，如果您不会使用铅笔和纸）。

其次，奈奎斯特定理说，如果您已经知道信号内容的频谱严格小于采样率的 1/2 ，则理论上可以重构信号。

您可以通过低通滤波来重构信号。在过滤之前，信号可能会失真，所以你必须知道你在看什么才能看到结果可能看起来不错。此外，您的信号内容的频谱越接近奈奎斯特极限，您的抗混叠和重建滤波器中的截止频率就需要越尖锐。这在理论上很好，但实际上，滤波器在时域中的响应变长，大致与它从通带过渡到阻带的急剧程度成正比。所以一般来说，如果可以的话，你的采样远远高于奈奎斯特。

这是一张与你的书应该说的内容相吻合的图片。

案例 A：每个周期一个样本（样本显而易见）

案例 B：每个周期两个样本，落在交叉点上——请注意，这与每个周期一个样本的输出相同，但这只是因为我在交叉点对第一个样本进行了采样。

案例 C：同样，每个周期有两个样本，但这次是极端情况。如果您以恰好是信号分量频率的两倍进行采样，那么您将无法重建。从理论上讲，您可以采样得稍微低一点，但是您需要一个具有脉冲响应的滤波器，该滤波器可以跨越足够多的结果，以便您可以重建。

案例 D：以 4 倍的信号频率采样。如果你连接点，你会得到一个三角波，但这样做是不正确的——在采样时间内，样本只存在于“点”。请注意，如果你通过一个像样的重建滤波器，你会得到一个正弦波，如果你改变你的采样相位，那么输出将在相位上等量移动，但它的幅度不会改变。

图B是非常错误的。它在输出信号中包含非常尖的角。非常尖的角落等于非常高的频率，比采样频率高很多。

为了满足奈奎斯特样本定理，您需要对重构信号进行低通滤波。经过低通滤波后，信号 B 看起来像输入信号，而不像三角形（因为所有尖角都不能通过低通滤波器）。

确切地说，您需要低通输入信号和输出信号。输入信号需要经过低通滤波，最大为采样频率的一半，以免“折叠”更高的频率。

可悲的是，这是对抽样工作方式的常见误解。更正确的描述将使用 sinc 函数进行重建（我建议搜索 sinc 函数）。

在现实世界的应用中，不可能有一个“完美”的低通滤波器（通过低于所有频率并阻止所有高于）。这意味着您通常会以至少 2.2 倍于您想要再现的最大频率的频率进行采样（例如：CD 质量以 44.1 kHz 采样，以允许 20kHz 的最大频率）。即使是这种差异也会使创建模拟滤波器变得困难——大多数现实世界的应用“过采样”，就像在数字领域中的低通滤波器一样。

采样定理指出，如果采样频率严格大于信号中的最高频率成分，则可以完美地重构信号。但是这种重建是基于在每个样本处插入（无限）sinc 脉冲。从理论上看，这是一个非常重要的结果，但在实践中不可能完全实现。书页中描述的是基于在样本之间绘制直线的重建方法，这是完全不同的东西。所以，我会说这本书是正确的，但它与采样定理没有任何关系。

Unser: Sampling - 50 years after Shannon是一篇非常好的概述论文。您的问题源于香农采样定理没有涵盖纯的无限正弦信号。适用于周期信号的定理是较早的奈奎斯特采样定理。

香农采样定理适用于可以表示为的函数

\$ x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df \$

其中X是平方可积函数。那么这个信号可以从离散样本中精确地表示为

\$ x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(tk\frac{T}2)) }{\pi W(tk\frac{T}2)} \$

用\$T=\frac1{W}\$一个“句号”。请注意，完美的重建取决于未来和过去任意大时间的样本。由于它们的影响仅下降为\$\frac1t\$，因此截断总和必须包含相当多的项以减少错误。

该类中不包含纯正弦函数，因为其傅立叶变换由狄拉克-δ 分布组成。

较早的奈奎斯特采样定理指出（或重新解释较早的见解）如果信号是周期为T且最高频率为 W=N/T的周期性信号，则它是三角多项式

\$ x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t} \$

具有2N+1 个（非平凡）系数，并且这些系数可以从该周期中的2N+1 个样本重建（通过线性代数）。

纯正弦函数的情况属于此类。如果在时间NT内采集2N+1 个样本，它承诺完美的重建。