我一直在绞尽脑汁，最终我找到了一种很好的数学方法来证明这一点，并决定回答我自己的问题。在这样的电路中，求解通过/通过任何组件的任何电压/电流（我称之为 \$f\$）总是会导致您构造一个始终为线性的微分方程，具有常数系数（由于线性特性无源元件）和非均匀（由于正弦输入）。这样的微分方程总是采用这种形式：$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+。 ..+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ 其中 \$a...k\$ 是常数（电感、电阻等的组合。 )，\$n\$ 是微分方程的阶数（反映了电路中储能元件的数量），\$C\sin{(\omega t+\theta)}\$ 是描述输入的广义正弦函数。这个微分方程的通解总是采用这种形式： $$f=\text{(一般齐次解)}+\text{(特解)}$$ 其中特解 \$=A\sin{(\ omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}\$ 是同频的正弦函数！现在，在交流电路分析中，我们总是在稳定状态下观察电路，当均匀解接近零时（由于电路中的电阻，这不可避免地会发生）。$$f=\text{(一般齐次解)}+\text{(特解)}$$ 其中特解\$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\ omega t+\theta)}\$ 是同频的正弦函数！现在，在交流电路分析中，我们总是在稳定状态下观察电路，当均匀解接近零时（由于电路中的电阻，这不可避免地会发生）。$$f=\text{(一般齐次解)}+\text{(特解)}$$ 其中特解\$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\ omega t+\theta)}\$ 是同频的正弦函数！现在，在交流电路分析中，我们总是在稳定状态下观察电路，当均匀解接近零时（由于电路中的电阻，这不可避免地会发生）。

这仅适用于 LTI（线性时不变）电路。如果您有一个非理想组件（并且它们都在某种程度上），您将在输出中看到输入频率的谐波。电感器往往是最差的，但所有无源部件都有这样的行为。例如，电容器可以表现出很强的电压系数，并且由于介电吸收而不是时间不变的。

对于一个简单的（假设大约 2 年大学数学知识）数学证明，您可以阅读这些伯克利课程（EECS20N：信号和系统）笔记。您可以在此处下载全文。

发生这种情况是因为正弦波只是频谱中的一条线，无论您使用线性滤波器或放大器如何处理它，所发生的只是相位或幅度的变化。

如果它是方波（无限谐波），那么应用滤波器会比其他频率更衰减或增强某些频率，并且方波将失去其可识别的方形形状。

方波谐波：-

动图来源

基本原因是理想 R、L 和 C 分量的组成方程是线性的、时不变的方程，只涉及导数和积分（都是线性运算），并且当作用于这些线性算子时，正弦和余弦会变成其他正弦和余弦。

正弦函数的导数和积分是另一个相同频率的正弦函数（它只能改变幅度和相位）。KCL 和 KVL 只能导致这种正弦函数的代数和，而这种运算只能产生另一个正弦函数。因此，最终，当您在网络中连接 R、L 和 C 时，正弦输入将始终导致正弦输出。

在这里查看我的其他答案。

所有这些都是指数函数自相似性的直接结果（与欧拉方程的正弦和余弦有关）。您可能想阅读 Giorgi 的第一章，波的物理学以获得完整的解释。

（请注意，在从 \$t=-\infty \$ 到 \$t=+\infty\$ 的区间内转换为自身的缩放和时移副本的这种属性是广义正弦函数独有的 - 所有其他函数最终会被线性时不变电路“变形”。线性系统的解决方案是自身的缩放副本，如 \$A \ x = \lambda \ x\$ （其中 \$\lambda\$ 是携带衰减和相移信息的复标量）称为系统的特征解或适当解或本征解。它们可用于构建具有可以分解任何其他（表现良好的）函数的性质的正交基作为这些基本积木的广义总和 - 这将引导您直接进入傅里叶级数领域，但这是另一个故事）。

Math SE 上这个问题的第一个答案给出了简明的解释：为什么我们在傅里叶变换中使用三角函数，而不是其他周期函数？

傅里叶基函数 \$e^{iωx}\$ 是将函数 \$f(x)\$ 映射到函数 \$f(x−h)\$ 的移位算子 \$S_h\$ 的特征函数： \$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}\$ 对于所有 \$x∈R\$。