FFT 将信号视为二维的——具有实部和虚部。还记得单位圆吗？正频率是相量逆时针旋转，负频率是相量顺时针旋转。

如果你丢掉信号的虚部，就会失去正负频率之间的区别。

例如（来源）：

如果你要绘制信号的虚部，你会得到另一个正弦曲线，相对于实部有相移。请注意，如果相量以另一种方式旋转，顶部信号将完全相同，但虚部与实部的相位关系会不同。通过丢弃信号的虚部，您无法知道频率是正还是负。

在时域中，负频率由相位反转表示。

对于余弦波，它没有任何区别，因为它无论如何都是围绕零时间对称的。它从 1 开始并在任一方向下降到零。

$$cos(t) = cos(-t)$$

但是，正弦波在零时间以零值开始并沿正方向上升，但沿负方向下降。

$$sin(t) = -sin(-t)$$

这是一种略有不同的方法。让我们看看哪个周期函数具有与频率 \$-1\$ 精确的傅里叶变换。

它是函数 \$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \ cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t) \$ for \$ t \in [0,1]\$。

请注意，该函数与函数 \$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}\$ 具有相同的实部。后一个函数只有一个频率分量 - 频率 \$1\$。

仅考虑真实信号时出现这些负频率的原因是因为它们提供了一种更简单的方法来描述单位圆在其函数空间上的作用的严格复特征值。

编辑：扩展最后一条评论，为了进行频率分析，我们真正想做的是在 \$[0,1]\$, \$F([0,1], \mathbb{R})\$ 并且能够用 \$F([0, 1]，\mathbb{R})\$。我们同意，如果我们开始我们的时期是 \$0\$ 到 \$1\$ 或 \$1/2\$ 到 \$3/2\$ 并没有那么多，所以我们真的希望这个基础表现良好关于移位运算符\$f(x)\mapsto f(a+x)\$。

问题是，使用适当的形容词，\$F([0,1], \mathbb{R})\$ 不是在移位方面表现良好的函数的直接总和。它是二维向量空间的（完全）直接和，相对于移位算子表现良好。这是因为表示映射 \$f(x) \mapsto f(a+x)\$ 的矩阵具有复特征值。如果我们将情况复杂化，这些矩阵将是对角的（在适当的基础上）。这就是我们研究 \$F([0,1], \mathbb{C})\$ 的原因。但是，引入复数有一个惩罚——我们得到了一个负频率的概念。

这有点抽象，但要具体了解我在说什么，请考虑我最喜欢的两个函数：$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{ i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{ 2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

考虑 \$\frac{1}{4}\$, \$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})\$ 的偏移。
$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos ( 2 \pi t)$$ \$\cos(2 \pi t)\$ 和 \$\sin(2 \pi t)\$ 的实向量空间跨度是由 \$s\$ 保存的函数的二维向量空间。我们可以看到 \$s^2 = -1\$ 所以 \$s\$ 有特征值 \$\pm \mathrm{i}\$

这个二维函数空间不能分解为 \$s\$ 的特征空间，除非我们将其复杂化。在这种情况下，特征向量将是 \$e^{2\pi \mathrm{i} t}\$ 和 \$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}\$。

回顾一下，我们从两个正频率开始，但是为了对角化 \$s\$ 的作用，我们必须添加负频率函数 \$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}\$。

可视化负频率的一个好方法是调制原始信号。假设您有一个频率为 \$\omega_0\$ 的正弦波（以弧度为单位）：

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

该信号的频谱在 \$\omega=\omega_0\$ 处有一个峰值，在负频率 \$\omega=-\omega_0\$ 处有一个峰值。

通过调制信号\$x(t)\$，您基本上将原始频谱移动了载波频率\$\omega_c>\omega_0\$：

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t- \sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

现在，在 \$-\omega_0\$ 处的原始负峰值在向上移动 \$\omega_c\$ 后变得可见。它现在位于 \$\omega=\omega_c-\omega_0\$。正频率处的峰值不在 \$\omega=\omega_c+\omega_0\$ 处。