闭环增益是当我们应用负反馈来“驯服”开环增益时产生的增益。如果我们知道开环增益和反馈量（输出电压的负反馈到输入的比例），就可以计算出闭环增益。

公式是这样的：

$$ A_{关闭} = \frac{A_{open}}{1 + A_{open} \cdot 反馈} $$

开环增益通常会像这样影响性能。首先，看上面的公式。如果开环很大，例如 100,000，则 1 + 无关紧要。\$A_{open} \cdot Feedback\$ 是一个很大的数字，我们是否在这个大数字上加 1 都没有关系：它就像是杯水车薪。因此，公式简化为：

$$ \begin{align} A_{close} &= \frac{A_{open}}{A_{open} \cdot 反馈} \\ &= \frac{1}{Feedback}\\ \end{align} $ $ 因此，如果我们只知道负反馈，我们可以很容易地获得一个巨大的开环增益：如果它只是倒数。如果反馈为 100%（即 1），则增益为 1，或单位增益。如果负反馈为 10%，则增益为 10。凭借巨大的开环增益，我们可以精确地设置增益：就像我们关心设计和构建反馈电路一样精确。由于开环增益不是那么大，我们可能无法忽略它1 +。如果 \$Feedback\$ 很小，则更是如此。

好的，到目前为止，这更像是一个干净的数学和设计便利性的问题。开环增益大：闭环增益简单。但是，实际上，小的开环增益意味着您必须使用较少的负反馈来实现给定的增益。如果开环增益是十万，那么我们可以使用 10% 的反馈来获得 10 的增益。如果开环增益只有 50，那么我们必须使用更少的负反馈来获得 10 的增益。（你可以用公式来解决这个问题。）

我们通常希望能够使用尽可能多的负反馈，因为这可以稳定放大器：它使放大器更线性，给它更高的输入阻抗和更低的输出阻抗等等。从这个角度来看，具有巨大开环增益的放大器是好的。通常使用具有巨大开环增益和大量负反馈的放大器来实现一些必要的闭环增益，而不是使用较低增益的放大器和较少的负反馈（甚至只是一个没有负反馈的放大器）使增益开环）。负反馈最多的放大器会更稳定、更线性等等。

另请注意，我们甚至不必关心开环增益有多大。是 100,000 还是 200,000？没关系：在获得一定收益后，应用简化的近似公式。因此，基于高增益和负反馈的放大器增益非常稳定。增益仅取决于反馈，而不取决于放大器的特定开环增益。开环增益可以变化很大（只要它保持巨大）。例如，假设开环增益在不同温度下不同。那不重要。只要反馈电路不受温度影响，闭环增益将是相同的。

我的回答涵盖了非反相以及基于反相运算放大器的放大器。

符号：

• \$A_{OL}\$（运算放大器的运算环路增益）
• \$A_{CL}\$（带反馈的闭环增益）
• \$H_{IN}\$（输入阻尼因子）-
• \$H_{FB}\$（反馈因子）。

对于电阻反馈：\$H_{FB} = \dfrac{R1}{R1+R2}\$

A)同相

因为输入电压直接施加到求和点（差分输入），所以 H. Black 的经典反馈公式适用：

\$A_{CL} = \dfrac{A_{OL}}{1+H_{FB} \cdot A_{OL}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{A_{OL}} +H_{ FB}} \$

对于 \$ A_{OL} >> H_{FB}\$ 我们有

\$ A_{CL} = \dfrac{1}{H_{FB}} = 1+ \dfrac{R2}{R1} \$

B)反相

因为现在输入电压不是直接施加到求和点（差分输入对），而是通过电阻分压器施加到反相端子，所以在可以应用 Acl 公式之前，输入电压相应降低。由于我们设置的叠加规则（假设\$V_{OUT} =0\$）

\$H_{IN} = \dfrac{-R2}{R1+R2}\$

因此我们有：

\$A_{CL} = \dfrac{H_{IN} \cdot A_{OL}}{1+H_{FB} \cdot A_{OL}} = \dfrac{H_{IN}}{\dfrac{1} {A_{OL}} +H_{FB}}\$

对于 \$A_{OL} >> H_{FB} \$ 我们有

\$A_{CL} = \dfrac{H_{IN}}{H_{FB}} = - \dfrac{\dfrac{R2}{R1+R2}}{\dfrac{R1}{R1+R2}} = - \dfrac{R2}{R1} \$

C)最后说明：考虑到反馈因子作用于负（反相）运算放大器输入，乘积 \$ -H_{FB} \cdot A_{OL}\$ 被定义为环路增益。

编辑：“开环增益和闭环增益的值如何影响运算放大器的性能？ ”

D) 以下答案涉及作为开环带宽 Aol（实际运算放大器）的函数的同相放大器的可用带宽：

在大多数情况下，我们可以对开环增益的实际频率依赖性使用一阶低通函数：

Aol(s)=Ao/[1+s/wo]

因此，基于 Acl 的表达式（在 A 下给出）我们可以写

Acl(s)=1/[(1/Ao)+(s/woAo)+Hfb]

随着 1/Ao<< Hfb 和 1/Hfb=(1+R2/R1) 我们到达（经过适当的重新安排）

Acl(s)=(1+R2/R1)[1/(1+s/woAoHfb)]

括号中的表达式是具有拐角频率的一阶低通函数

w1=woAoHfb

因此，由于负反馈，带宽 wo（开环增益）被放大了因子 AoHfb。

不仅如此，我们还可以写

woAo=(w1/Hfb)=w1(1+R2/R1)

这是经典的常数“增益带宽”乘积 (GBW)，也可以写为

w1/wo=Ao/Acl(理想)。

从额外增益的角度考虑这一点可能会有所帮助，即开环和闭环增益之间的差异。例如，如果开环增益为 100,000，闭环增益为 10，则差异为 99,990 或接近 100 dB。（如果不清楚我如何将增益转换为 dB，请阅读这篇文章。）如果闭环增益为 1,000，则几乎不会减少多余增益，因为差异仍然很大。在这种情况下，您必须将差异缩小到 10 倍以内，才能将差异降低到 99 dB 以下。

这个示例放大器的开环增益非常高，我们可以将额外增益称为 100 dB 用于所有实际用途。

这种额外的增益有助于性能参数的改进。例如，如果放大器的失调电压为 30 mV，并且您有 60 dB 的额外增益，则闭环系统的失调电压将提高 1000 到 30 µV。但是必须考虑操作频率，因为开环增益具有不同的主要极点和零点，因此如果您的操作非常接近这些频率，则解释变得不那么简单。

此外，开环增益的概念仅适用于电压反馈、电压模式放大器。诺顿放大器、电流反馈放大器和基于 OTA 的运算放大器（如CCI 和 CCII 类放大器）对其局限性有不同的细微差别。

开环增益是由内部器件和内部电路的增益特性决定的，对于一个运放来说可以达到几十万。闭环增益由外部电路决定，通常是输入和反馈电阻的比率。