我想知道在哪里可以找到复数幂公式 S=VI*/2 的推导，其中 S、V 和 I 是复数相量。
我已经看到一大堆验证，人们将东西放入等式中以表明它恰好有效。
这是我目前所知道的，如果 \$ V=V_{M} ∠ \phi _{V} \$ and \$ I=I_{M} ∠ \phi _{I} \$ and \$ S = V_{ RMS} \cdot I_{RMS} \$，
然后 \$ V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}} \$ 和 \$ I_{RMS} = \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}} \$ 和 S = Vm∠ø_v*Im∠ø_i/2 \$ S = \dfrac{V_{M} ∠ \ phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2} \$
令V和I为负载上的瞬时电压和电流。根据功率、电压和电流的定义，我们得到瞬时功率的关系：
\$ p(t) = v(t) \cdot i(t) \$
这意味着给定瞬间的功率 \$ t \$ 等于该瞬间的电压和电流的乘积。
我假设您熟悉相量表示的实际含义。简而言之：相量是表示给定未知频率的正弦曲线的数学简写。
所以，\$ V=V_{M} ∠ \phi _{V} \$ 是 \$ v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})\$ 的简写. 同理：\$ I=I_{M} ∠ \phi _{I} \$ 表示 \$ i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})\$。
将 \$ v(t) \cdot i(t) \$ 与所有 \$ t \$ 相乘，可以得到每个 \$t\$ 的瞬时功率波形。处理那个乘法：
\$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi_{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \ φ_{I})\$
如 \$ cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(uv)+cos(u+v) ]\$，其中 \$ u = \omega t+ \phi _{V} \$ 和 \$ v = \omega t+ \phi _{I} \$，我们可以将上面的等式简化为：
\$ s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi_{V} - \phi_{I }) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})] \$
这个波形本身就很有趣：它是一个常数值 \$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I}) \$由正弦曲线求和 \$ \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]\$。
这清楚地表明瞬时功率不随时间恒定。
基于该结果，我们可以看到平均功率等于 \$ s(t) \$ 的不变分量（从数学上证明这一点非常简单，只需求解积分 \$ \cfrac{ 1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}\$)
受此结果的启发，以及 \$ VIcos(\phi _{V} - \phi _{I}) \$ 的漂亮几何解释，该值已被定义为实际功率，即实际交付给负载。现在您知道，所谓的实际功率只不过是负载的平均功率。
稍微深入研究一下这个概念（很遗憾我不能在这里画，但我会尝试）：
令v为具有大小 ||v|| 的向量 和相位 \$ \phi_v \$，并且i是具有大小 ||i|| 的向量 和相位 \$ \phi_i \$ 如果你乘 ||i|| 通过 \$cos(\phi_v-\phi_i)\$ 你有i 在 v 上的投影。另一方面，\$||i||sin(\phi_v-\phi_i)\$ 被称为i与v正交的分量。
现在你可以理解为什么平均功率有一个很酷的几何解释：平均功率是电压乘以电流在电压上的投影，在相量空间上。
这激发了复杂幂S的创建：
S = P + jQ
有了这个定义，向量的实部正好是传递给负载的平均功率，而复数部分是据说是正交的功率，称为无功功率（谷歌搜索功率三角形以查看此结果的几何解释） .
好的，现在回到 \$ s(t) \$ 定义，我们看到 \$ P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) \$ 和 \$ Q \ $，根据定义，并符合 S 的定义，等于 \$ \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i) \$
所以，正如我们一开始想证明的那样：
\$ S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)\$
\$ S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]\$
\$ S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2} \$
\$ S = \cfrac{V \cdot I*}{2} \$
所以，你去吧，你想看到什么;）
编辑：Q的物理解释是什么？
我已经在上面展示了复功率 P 的实部的物理解释，即传递给负载的平均功率。但究竟什么是 Q，如何将其可视化？它是基于 cos 和 sin 正交的事实，如果计算中涉及的两个波形正交，则可以将叠加原理应用于幂。让我们进入数学，因为这真的很重要。
使用上面得到的结果： \$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos( 2\omega t+ \phi_{V} + \phi_{I})] \$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))] \$
那是以 \$ \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \$ 为中心的正弦曲线，具有相同的幅度（其最小值为 0，最大值为 \$ V_{M}I_{M} \$ ）。我们称它为P
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2 })]\$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))] \$
那是一个平均值等于 0 的纯振荡波形。我们称这个结果为Q。
在这种情况下，s(t) 正是我们在上面讨论中找到的一般方程。但是我们可以重写它以利用前两个案例的结果，如下所示：
首先，我们将方程改写为 \$ \theta \$（注意 \$ \phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta \$）： \$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)] \$知道：\$ cos(xy) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)\$，令 \$ x = 2(\omega t+ \phi _{V}) \$ 和\$ y = \theta \$
\$ s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin (\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]\$
重新排列条款：
\$ s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin( \theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))\$
使用上述前两种情况的结果：
\$ s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q \$
一个惊人的结果，对吧？那是什么意思？
让我们回到我们正在做的事情：计算 \$ \phi _{V} - \phi _{I} = \theta \$ 的一般情况的幂，即求解方程：
\$ s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I) \$
我们能否将 \$ i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I) \$ 改写为 \$ i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin( \omega t + \phi_V) \$?
我们试试吧：
\$ \phi_I = \phi_V - \theta \$ \$ i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta \$) \$
让 \$ \omega t + \phi_V = u \$ 和 \$ \theta = v \$
与关系：
\$ cos(uv) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v) \$
我们有：
\$ i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V) \$
正是我们想要的，将 i(t) 重写为两个分量的和：一个与 v(t) 同相，一个与 v(t) 正交！
现在可以解释情况 3 的结果：i(t) 可以分解为两个分量，如上所示，i(t) 产生的功率等于这些分量中的每一个单独产生的功率。哇，就像叠加但是为了力量！（记住这只是真的，上面已经证明了，因为 cos 和 sin 是正交的）
所以Q是 i(t) 与 v(t) 正交的分量产生的功率量。它纯粹是振荡的，没有平均值。
P是与 v(t) 同相的 i(t) 分量产生的功率量。它是振荡的，但其平均值等于传递给负载的平均功率。
而复功率S，即总功率，恰好是这两个分量的总和