为什么 s 在拉普拉斯变换中很复杂：首先请注意，傅里叶变换是我们的时域信号与每个可能频率的相关（相乘和累加）。你可以用正弦和余弦来描述这种相关性（糟糕！）或者用指数非常紧凑（是的！）。傅里叶级数展开是一个很好的例子，它通常是如何首次引入的，我们在可能的谐波频率位置逐步检查每个正弦和余弦，并执行相关以查看在每个频率上存在多少输入信号。后来，我们通过将频率描述为单个旋转相量 $$e^{j\omega t}$$ 而不是携带两个具有正弦和余弦的相量，以非常紧凑的形式看到相同的方程，例如： $$\frac{1 }{2}e^{j\omega t} + \frac{1}{2}e^{-j\omega t}$$。

请参阅本文底部的图片以使这一点非常清楚，并再次查看所有变换（傅立叶、拉普拉斯、Z 等），以了解在所有情况下这是形式的相关性：

$$corr = \int f(t)g^*(t)dt$$

它测量两个函数之间的线性关系（* 是复共轭）。对于离散系统，积分变为求和，但我们再次看到相关关系。

为什么这很重要？所以在傅里叶中，我们计算与所有值的相关性

$$e^{j\omega t}$$

并查看我们波形中 omega 给出的每个频率的内容，我们将时域波形重新映射到频域，可以更简单地解决某些数学挑战（或与观察或操纵信号相关的其他原因）频率）。

一些波形不会在相关积分中收敛，因此没有傅里叶变换。但是，我们可以通过乘以衰减指数来“预缩放”这些波形，然后使解决方案收敛：

$$e^{st} = e^{(\sigma + j \omega)t} = e^{\sigma t}e^{j \omega t}$$

结果是拉普拉斯变换（在离散系统中是 z 变换），再次将我们的时域波形映射到 s 域使我们能够更简单地解决数学挑战（特别是拉普拉斯将微分方程转换为简单的代数——是的！ ！！）。它还允许我们解决瞬态条件，例如阶跃响应等。是的，您可以将拉普拉斯变换想象成一个表面，显示我们的输入函数 x(t) 与所有可能的自旋相量（如傅立叶）以及随时间增长或衰减的自旋相量的相关性。（通常，该表面仅显示为极点和零点，显示相关性最大和零的位置，因为这完全描述了未显示的其余表面。）

一般与时间和频率以及复杂信号有关：尚未提及的复杂信号的重要用途是在通信系统中。线性系统的任何载波上的调制都可以直接在基带上建模（导致处理更简单，因为我们不再关心对高频正弦载波的每个周期进行建模，而是可以对幅度变化率相对较低的情况进行建模和该载波的直接相位。）

也就是说，当在如上所述的基带上观察时，频谱的正半部分不是复共轭（不同幅度和相反相位）的任何波形都可以使用复信号来描述；它涵盖了当今几乎所有现代通信波形（简单的双面 FM 和 AM 调制是不必要的）。

欧拉的恒等式很好地说明了这一点。任何真正的正弦曲线都有两个复信号，即正频率和负频率，遵循频率必须是共轭对称的规则。要创建这两个频率之一（在基带），我们需要有一个复信号（通常使用“I”和“Q”数据路径实现，一个代表同相或实轴，另一个代表正交或虚轴） . 每个复频率是一个相量随时间在一个方向上旋转 ($e^{j\omega t}$ )。下图显示了分解欧拉时的这种关系，以及如果频谱的正半部分不等于（复共轭）下半部分，则如何需要复频率：

时域信号显示为相量（极坐标图，矢量表示瞬时时间和角度，随时间旋转）。由于这两个相量相等且沿相反方向旋转（共轭），因此将产生仅保留在实轴上的正弦曲线。因此，我们看到了欧拉的恒等式、正频率和负频率的概念，以及我们使用复频率的原因。

最后，这是一张显示信号被调制的情况的图片。在图中，我们以 0 (DC) 为中心，但我们可以同样以任何载波频率为中心，与载波的相位和幅度偏差与时间的关系相同，如左侧的 IQ（极坐标图）图所示。如果我们的频谱（右侧）在上半部分和下半部分之间没有复共轭关系，我们必须使用复信号来描述该信号。

拉普拉斯变换是傅里叶变换的扩展/推广。因为傅里叶积分不会对所有函数收敛，我们在积分下引入了一个附加项 \$e^{-\sigma t}\$，随着时间 \$t\$ 的增加，它接近于零。这确保了变换的收敛。

因此，我们可以将傅里叶积分中的表达式 \$e^{-j\omega t}\$ 与这个附加指数函数结合起来，并得到 \$e^{-st}\$，其中 \$s=(\sigma +j\omega)\$. 因此，数量 \$s\$ 是一个复数。这个“复频率”表达式描述了一个正弦信号，它具有增加（正 \$\sigma\$）或减少（负 \$\sigma\$）的正弦波。

有趣的是，对于能够显示出减小振荡的系统（储能电路）的时域解也给出了相同的复频率变量 \$s\$。

我想也许你需要记住，正弦波的背景数学很复杂。欧拉在 1700 年代把这个想法带到了前台：-

好的，在 EE 中我们使用“j”作为复数运算符，但在数学中他们使用“i”。查看正弦波的另一种方法是：-

我对正弦波“复杂性”的首选解释是，正弦波是由两个以相反方向旋转的旋转矢量构成的（一个可以被视为正频率，另一个可以被视为负频率），但数学基本上都是相同的： -

因此我们最终得到一个正弦波 \$\dfrac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{j2}\$

如果你真的想要准确的话，它从一开始就是复数。

首先，让我们说复平面是引入令人尴尬的符号 j（或数学中的 i）的直接结果。但是为什么要介绍呢？由于负数的每个平方根都可以分解为负数的平方根与（其他）实数的乘积，即：\$\sqrt{-r} = \sqrt{-1\times r} = \sqrt{-1}\times\sqrt{r} = j\sqrt{r},\, r \in \mathbb{R}\$。

它有助于数学家在编写本文时引入 j（或 i）作为速记符号。更重要的是，复数平面现在比实数平面更通用，因为每个实数都是没有虚部的复数，即：

$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\,\,\, \equiv \,\,\,\forall{x: x\in \mathbb{R}} \隐含 x \in \mathbb{ C} $$

现在，为什么频率很复杂？简单地说，只是为了方便数学。它与交流信号分析中使用的相量（正弦曲线）的概念非常相似，除了复数频率现在可以覆盖所有类型的输入，而不仅仅是正弦曲线。

澄清：

• 考虑输入\$V(t)=V_m\cos(\omega t + \phi)\$，其中欧拉恒等式\$\cos(\omega t + \phi) = \mathrm{Re}\!\left (e^{j(\omega t + \phi)}\right)\$

• 现在假设您想要一个阻尼输入（在一段时间后消失的输入），形式为 \$V(t) = V_me^{\sigma t} \cos(\omega t + \phi)\$，其中 sigma 是负数，当然（否则电路会爆炸）

• 使用欧拉恒等式重写余弦表达式\$V_t = \mathrm{Re}\!\left(V_me^{\sigma t} e^{j(\omega t + \phi)}\right)\$

• 重新排列以保留相量形式\$V_t = \mathrm{Re}\!\left(V_me^{j \phi} e^{(\sigma + j\omega)t}\right)\$

• 进行替换\$s = \sigma + j\omega\$，以代替实际频率（更通用）

现在，除了将它乘以一个真正的垂死指数之外，您在输入中没有任何改变。通过这种方式，您可以将实数频率的概念推广到复数频率，就像我们在上面对复数和实数平面所做的那样，以方便数学计算。魔法！