欧姆定律 $$ 1: V(t) = I(t)R $$

瞬时功耗是电压和电流的乘积 $$ 2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

将 1 代入 2 以获得通过电阻器的电压或电流瞬时功率： $$ 3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

平均功率定义为一段时间内瞬时功率除以该时间段的积分。将 3 代入其中以获得电压和电流方面的平均功率。$$ 4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}= \frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$$

RMS 电流定义 $$ 5：I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ 两边平方 $$ 6：I_{ RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ 乘以 R 以找到平均功率 $$ 7 的方程 4： I_{RMS}^2R = \frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ RMS 电压定义 $$ 8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\ int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ 两边平方 $$ 9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt }}{T}\\ $$ 除以 R 得到平均功率 $$ 10 的等式 4： \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t )dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ 将表达式 7 和 10 相乘得到平均功率 $$ 11： P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$两边的平方根 $$ 12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

非常简单的证明（在问题的离散采样情况下）是用 E/R 代替 RMS 方程中的 I

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

和非常简单的代数。

是的，这是正确的，因为它规定我们有一个纯电阻负载，因此不存在相位角问题，也不存在 I 中不存在 E 中的谐波。

编辑

离散点的 RMS 定义（来自维基百科）： $$ x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \右）}$$

所以 $$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

和 $$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

并根据欧姆定律 $$I_i = V_i/R$$ 替换：

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

然后：

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

拉出 1/R^2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

所以：

$$V_{RMS} * I_{RMS} $$ 是：

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

分配 1/R：

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

再次使用欧姆定律替换：

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

这是：

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i $$

关键是对于电阻负载，电压和电流是同相的。

如果电压和电流都是 \$\sin(t)\$，那么它们的乘积由等式 \$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)\$ 给出. 功率是两倍频率的正弦波，振荡约\$1/2\$。这是它随时间变化的平均值（“正方形”的“平均值”）。均方根为 \$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \约 0.707\$。这就是我们得到那个神奇数字的地方。

均方根电压或电流是随时间产生相同功耗的直流等效电压和电流。如果平均功耗为 \$1/2\$ W，那么这样的功耗可以通过 \$\sqrt{2}/2\$ VDC 乘以 \$\sqrt{2}/2\$ A直流。

如果电流和电压相位相差 90 度（纯无功负载），那么我们可以认为一个是 \$\cos(t)\$，另一个是 \$\sin(t)\$。那么适用的等式是 \$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)\$。功率波形不再“偏”在\$1/2\$左右振荡；它的平均值为零：随着功率波形正负摆动，功率在交替的半周期内流入和流出负载。

因此，要回答这个问题，RMS 电压和电流是根据平均功率定义的：每一个都是从平均功率的平方根得出的。 将从平均功率的平方根获得的两个值相乘，即可恢复平均功率。

让我们在没有数学的情况下进一步简化这个问题。以这个简单的电路为例，它产生一个周期为 10 秒的方波。

电压是这样的

电流是

那么功率波形为

当开关打开时，电阻器没有功率，因此总能量为 10 瓦 X 5 秒 = 50 焦耳，这与我们在 10 秒内 施加5 瓦的能量相同

这是平均功率。平均电压为 5 伏，平均电流为 0.5 安培。做简单的计算，平均功率为 2.5 瓦或 25 焦耳，这是不正确的。

所以让我们用这个命令来做这个把戏：

1. 首先将电压（和电流）平方

2. 二取平方的平均值

3. 然后取平均值的平方根

电压波形的平方为

平均值为 50V^2（不是 50^2 伏）。从这一点忘记波形。只有价值观。上述值的平方根为 7,071…volt RMS。对电流执行相同操作会发现 0,7071..A RMS 平均功率为 7,071V x 0,7071A= 5 瓦

如果您尝试对 RMS 功率做同样的事情，结果将是毫无意义的 7,071 瓦。

所以唯一等效的加热功率是平均功率，唯一的计算方法是使用电压和电流的 rms 值