退后一步并暂时忘记预测方面很有用。让我们考虑任何分布$F$并假设我们希望用一个数字来总结它。

你在统计学课上很早就学会了使用期望$F$作为单个数字摘要将最小化预期的平方误差。

现在的问题是：为什么要使用$F$最小化预期的绝对误差？

为此，我经常推荐Hanley 等人的“将中值可视化为最小偏差位置”。（2001，美国统计学家）。他们确实在论文中设置了一个小程序，不幸的是，这可能不再适用于现代浏览器，但我们可以按照论文中的逻辑进行操作。

假设你站在一排电梯前。它们可以等距布置，或者电梯门之间的一些距离可能比其他的大（例如，一些电梯可能出现故障）。当其中一部电梯到达时，您应该站在哪部电梯前进行最少的预期步行？请注意，这个预期的游走起到预期绝对误差的作用！

假设您有三部电梯 A、B 和 C。

• 如果您在 A 前面等候，您可能需要从 A 步行到 B（如果 B 到达），或者从 A 到 C（如果 C 到达）——经过 B！
• 如果您在 B 前面等候，则需要从 B 步行到 A（如果 A 到达）或从 B 步行到 C（如果 C 到达）。
• 如果您在 C 前面等候，您需要从 C 步行到 A（如果 A 到达）-经过 B - 或从 C 走到 B（如果 B 到达）。

请注意，从第一个和最后一个等待位置，有一段距离 - AB 在第一个位置，BC 在最后一个位置 - 您需要在多个电梯到达的情况下步行。因此，你最好的选择是站在中间电梯的正前方——不管三部电梯如何布置。

这是 Hanley 等人的图 1：

这很容易推广到三个以上的电梯。或者到有不同机会先到的电梯。或者实际上是可数无限多的电梯。所以我们可以将此逻辑应用于所有离散分布，然后传递到极限以达到连续分布。

要加倍回到预测，您需要考虑在特定未来时间段的点预测的基础上，存在（通常是隐含的）密度预测或预测分布，我们使用单个数字点预测对其进行总结。上述论点说明了为什么您的预测密度的中位数$\hat{F}$是最小化预期绝对误差或 MAE 的点预测。（更准确地说，任何中间值都可以，因为它可能不是唯一定义的——在电梯示例中，这对应于具有偶数个电梯。）

当然，中位数可能与预期完全不同，如果$\hat{F}$是不对称的。一个重要的例子是低容量计数数据， 尤其间歇时间序列. 确实，如果您有 50% 或更高的零销售机会，例如，如果销售是泊松分布的参数$\lambda\leq \ln 2$，那么您将通过预测一个平坦的零来最小化您的预期绝对误差 - 这相当不直观，即使对于高度间歇性的时间序列也是如此。我为此写了一篇小论文（Kolassa，2016，International Journal of Forecasting）。

因此，如果您怀疑您的预测分布是（或应该是）不对称的，如上述两种情况，那么如果您希望获得无偏的期望预测，请使用rmse. 如果可以假设分布是对称的（通常对于大容量系列），则中位数和均值重合，并使用前还将指导您进行无偏预测 - MAE 更容易理解。

同样，最小化马佩可能导致有偏差的预测，即使对于对称分布也是如此。我的这个较早的答案包含一个模拟示例，该示例具有不对称分布的严格正（对数正态分布）序列，可以使用三种不同的点预测进行有意义的点预测，具体取决于我们是否要最小化 MSE、MAE 或 MAPE。

Stephan 的回答给你一个直观的解释，为什么最小化绝对平均误差会给你中位数。现在回答使用 MSE、MAE 或 MAPE 中的哪一个：

MAE 是稳健的，这意味着它对异常值不太敏感。想象一个系列的错误比它应该的大一百万倍。在 MSE 上，它会拉动预测一百万次/N 次（其中 N 是点数），而 MAE 只会拉动 1 个单位。

不幸的是，MAE 并不是唯一的，因此它可能表现出某种精神分裂症的行为。

所以我的建议是先做一个 MSE，然后使用 MSE 参数开始 MAE 回归。

在任何情况下比较两个预测：如果它们非常不同，那么您的数据中有一些异味。

所有上述解释都很棒，只是建议一个较短的解释。

假设您将使用某个不是中值的值来最小化 MAE，那么在该值上方有 A 示例，在其下方有 B 示例，这样 wlog$A>B$. 然后通过增加值$\epsilon>0$误差减少$\epsilon$对全部$A$例子和增加$\epsilon$对全部$B$示例，因此总体误差减少了$(A-B)\epsilon>0$.

这适用于任何值$A \neq B$, 即除中位数以外的任何值。