我正在构建一个完整的模拟合唱效果踏板。我的原理图基于 Tom Sholz 设计的 Rockman X100 耳机放大器。在这个示意图中，有一个二阶低通滤波器，它看起来像 Sallen-Key 低通滤波器的变体，但我从未遇到过这样的拓扑。
有人可以帮我推导出计算频率、增益和品质因数的公式吗？
原始示意图的链接：https ://www.dropbox.com/s/3kii0qlqiwtoosj/rockman-x100-and-soloist-schems.pdf?dl= 0 它从第 2 页的“立体声合唱”标题下方开始。
如果您设置\$\gamma=\frac{C_1}{C_2}\$和\$\rho=\frac{R_3}{R_4}\$，那么左侧的二阶滤波器（两个的第一阶段）有\$\omega_{_0}=\frac1{R_4\, C_2 \,\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma\,\rho}}\$和\$Q=\frac{\sqrt{{\ vphantom{M}}\gamma\,\rho}}{1+\rho}\$。
在上述电路中\$\rho=1\$，所以\$\omega_{_0}=\frac1{R_4\, C_2 \,\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma}}\$和\$ Q=\frac12\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma}\$。
接下来是一个简单的 RC 低通滤波器（第二级），我相信你可以解决。应该将它设置为稍微高一点的频率，但不要太高，以便每滚降十年再增加一个\$20\:\text{db}\$ 。它会影响\$Q\$，一点点。但我不想为三阶传递函数计算所需的导数而烦恼，所以我把它留给了你。
使用sympy并将\$R_3\ $和\$R_4\$之间的共享节点命名为\$V_x\$，并将运算放大器输出电流指定为\$I_o\$，第一阶段的传递函数为：
zc1 = 1/s/c1
zc2 = 1/s/c2
eq1 = Eq( 0, vi/r2 + vo/zc2 + vx/r3 )
eq2 = Eq( vx/zc1 + vx/r4 + vx/r3, vo/r4 )
eq3 = Eq( vo/r4 + vo/zc2, io + vx/r4 )
ans = solve( [eq1, eq2, eq3], [io, vx, vo] )
tf = simplify( ans[vo]/vi )
tf = fraction(tf)[0] / factor( expand( fraction(tf)[1] ), s )
(-c1*r3*r4*s - r3 - r4)/(r2*(c1*c2*r3*r4*s**2 + s*(c2*r3 + c2*r4) + 1))
这不是标准形式。但至少它是对的。
正如我之前写的，你可以很容易地计算出第二阶段的传递函数，然后将其应用到上面。
不过，这样做更有趣：
c1 = gamma*c2
r3 = rho*r4
zc1 = 1/s/c1
zc2 = 1/s/c2
eq1 = Eq( 0, vi/r2 + vo/zc2 + vx/r3 )
eq2 = Eq( vx/zc1 + vx/r4 + vx/r3, vo/r4 )
eq3 = Eq( vo/r4 + vo/zc2, io + vx/r4 )
ans = solve( [eq1, eq2, eq3], [io, vx, vo] )
tf = simplify( ans[vo]/vi )
tf = fraction(tf)[0] / factor( expand( fraction(tf)[1] ), s )
-r4*(c2*gamma*r4*rho*s + rho + 1)/(r2*(c2**2*gamma*r4**2*rho*s**2 + s*(c2*r4*rho + c2*r4) + 1))
den = Poly( expand( fraction(tf)[1] ), s ).coeffs()
w0 = powdenest( sqrt( den[2]/den[0] ), force=True )
1/(c2*sqrt(gamma)*r4*sqrt(rho))
q = simplify( powdenest( sqrt( den[2]*den[0] )/den[1], force=True ) )
sqrt(gamma)*sqrt(rho)/(rho + 1)
大部分方法相同。但现在产生了与我一开始提到的相同的结果。
我选择将第一级运算放大器的 (-) 输入电压设置为\$0\:\text{V}\$以进行分析。我没有忘记处理该节点的 KCL。但是节点电压不会显示为变量，因为它不是变量。（无论如何，还不足以打扰。）
补充：我没有评论解释第一个二阶阶段的传递方程，因为我假设你对细节很了解（从我在你的文章中看到的）你可以看到分子表示低通加上一个带通。Sallen 和 Key 确实涵盖了 18 种不同类型的被动结构；他们认为重要的那些。但不是这个。（他们确实说其他人是可能的，当然。）所以我不确定你可以称之为 Sallen & Key。
此外，很高兴看到您的问题产生的不同观点。所以我赞成你的问题。你有很多工作要做。（尽管据我所知，没有人提出整体等效三阶\$Q\$的问题。）
再次添加：忘记提及您显示的原理图在（+）运算放大器引脚上没有电阻，接地。通常最好包含一个有助于处理偏置电流的设备。
假设您已经知道\$\omega_{_0}\$（又名\$\omega_{_p}\$）和\$Q\$。然后从考虑关系开始：
$$\tau=C_2\left(R_3+R_4\right)=\frac1{\omega_{_0}\,Q}$$
假设您想要\$f_{_0}=6400\:\text{kHz}\$和\$Q=2.5\$。然后\$\tau\大约 9.95\:\mu\text{s}\$。出于设计目的，也可以将其称为\$\tau=10\:\mu\text{s}\$ 。
由于电容器可用的值选择较少，因此您可以从这里继续选择\$C_2\$的值，但大致了解您对\$R_3+R_4\$的感觉如何。如果这些电阻的总和可能在\$10^5\:\Omega\$附近，那么电容器将在\$10^{-10}\:\text{F}\$或\$100附近\:\text{pF}\$。
使电容器大一点将使电阻器小一点。你明白了。
假设我手头有质量很好的\$68\:\text{pF}\$电容器。所以现在我可以设置\$C_2=68\:\text{pF}\$。并找到\$R_3+R_4\approx 146.3\:\text{k}\Omega\$。
我们也可以计算出\$\gamma\approx 4\,Q^2\$（我将把细节留给你去探索，因为我不想让你失去发现原因的机会）。所以我们知道\$\gamma\approx 25\$。这意味着\$C_1\approx 25\cdot C_2=1.7\:\text{nF}\$。我们可以选择\$C_1=1.8\:\text{nF}\$的附近值，然后重新计算\$\gamma=\frac{1.8\:\text{nF}}{68\:\text{ pF}}\约 26.47\$。
现在我们可以找到\$\rho\$的两个可能值：\$\rho\approx 1.61678\$或\$\rho\approx 0.6185\$。（你选择哪一个并不重要。）这意味着我们需要这两个电阻值：\$90.4\:\text{k}\Omega\$和\$55.91\:\text{k}\Omega\$。附近的值将是\$91\:\text{k}\Omega\$和\$56\:\text{k}\Omega\$。从这里，我们发现\$R_3=56\:\text{k}\Omega\$和\$R_4=91\:\text{k}\Omega\$。现在\$\rho\大约 0.6154\$。
现在我们可以重新计算\$f_{_0}\approx 6373\:\text{Hz}\$和\$Q=2.4985\$。这些非常接近设计值。（但是，鉴于电阻器和电容器的容差，您必须对此持保留态度！）
上述过程的优点是它不会强制您提前选择特定的\$\gamma\$或\$\rho\$。取而代之的是，它让那些关于电容器和电阻器的可用合理化值的自然决策流出，并进入实现频率和Q的设计端。
假设您事先知道您想要\$\rho=1\$。然后你就会知道\$R_3=R_4=\frac{4\,Q}{2\,\omega_{_0}\,C_1}\$。（看看你能不能找出原因。）如果你选择了\$C_2=62\:\text{pF}\$那么\$C_1=1550\:\text{pF}\$。那不可用，但\$C_1=1500\:\text{pF}\$是。现在计算\$R_3=R_4\approx 82.9\:\text{k}\Omega\$。但这也不可用，因此请选择\$R_3=R_4\approx 82\:\text{k}\Omega\$。现在计算\$f_{_0}\approx 6364.5\:\text{Hz}\$。
这恰好与我为您的电路获得的价值有关！如果我不得不猜测它，我想设计标准实际上可能是\$f_{_0}=6400\:\text{kHz}\$和\$Q=2.5\$。鉴于\$C_2=62\:\text{pF}\$和以\$R_3=R_4\$为起点的要求，很难想象逃避您的实际设计。这就是我的猜测。
这种布置看起来非常类似于多反馈低通放大器。（参见基本线性设计第 8 章的第 79 页（原理图）和第 96 页（设计步骤）。）
不同之处在于，多反馈低通放大器中的输入电阻馈入T网络的中间，而不是直接馈入 (-) 输入。
不过，您会发现设计过程再次从为您的\$C_2\$选择一个值开始。然后，他们接下来为您的\$C_1\$开发一个值，其方式与乘以\$4\,Q^2\$不同（请参阅他们用于\$\alpha\$的含义来识别这一点。）然后他们让电阻器从这些早期步骤中脱落。这与您的原理图设计者在设置\$R_3=R_4\$作为早期步骤时所做的不同。但我认为 Analog 的流程也可以类似地进行调整。
我很好奇您的原理图是否具有公认的名称。Analog Devices 文档中显示的配置中的输入电阻会影响电压增益。在您的情况下，它不是，而是代表输入阻抗。事后看来，这种修改似乎太明显了。
（而且它看起来肯定不像双 T 型缺口。请参阅上面 PDF 链接的第 105 页，了解原因。）
这些都是非常好的答案，考虑到 Occitanie 的下雨天，让我添加我的答案：) 我正在使用我书中描述的快速分析电路技术或 FACT 。原理很简单：确定励磁变为零时系统的自然时间常数（0-V \$V_{in}\$源为短路）。这些自然时间常数给出了电路的极点。然后，检查是否存在零并应用 null-double 注入或 NDI。如您所见，该过程非常顺利。
在这里，我们有一个有源滤波器，然后是一个无源低通版本。考虑到驱动\$RC\$滤波器的零输出阻抗，我们可以安全地将两个传递函数解耦，并专注于第一个与运算放大器的传递函数。
首先，设置\$s=0\$并打开所有大写字母。在这种配置中，直流增益是一个简单的基于运算放大器的逆变器（无限\$A_{OL}\$）。然后，用短路代替输入源，并通过电容器的连接端子“查看”以确定电阻\$R\$。该电阻与所考虑的电容器相结合形成了我们想要的时间常数\$\tau=RC\$：
电容器暂时断开，并交替置于其直流状态（开路）或高频状态（短路）。考虑到完美的运算放大器和无限的开环增益，您无需编写代数即可检查电路并获得表达式，这非常酷。
对于零，你怎么知道这个有源滤波器中是否有零？好吧，也可以将每个储能元件设置为高频状态，并检查施加在\$V_{in}\$处的刺激是否会产生响应。如果是这样，你有一个零。如果没有，您不会：
使用 SPICE 的简单直流工作点确认\$C_1\$对传递函数的贡献为零，而其他两个（或三个）电容则没有（两种情况下的输出为 0 V）。为了确定零，让我们对这个电路应用一个空双注入或 NDI：
您可以再次看到，在没有代数的情况下，从连接端子看到的电阻只是\$R_3\ $和\$R_4\$ 的并联组合。您可以通过考虑 0-V 输出电压来推断此结果，这也意味着反相引脚上的零偏置。因此 \$ R_3 \ $和\$R_4\$相对的端子都接地，并且结提供了电阻\$R=R_3||R_4\$。
就是这样，我们现在可以将所有这些结果组装到一个 Mathcad 工作表中，以方便的二阶归一化形式重新排列最终表达式，我们得到：
如果您将我的表达式与jonk的表达式进行对比，幅度和相位响应是相同的：
第一个活动块的传递函数 - 当然 - 有一个二阶分母\$D(s)\$。传递函数具有形式
$$H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}=\dfrac{s\dfrac{R_3R_4}{R_2}C_1+\dfrac{R_3+R_4}{R_2}}{s^2R_3R_4C_1C_2 +s(R_3+R_4)C_2+1}$$
因此，它不是经典的二阶低通，也不是带通（在多反馈拓扑中）。它是两者的结合，峰值（约 15 dB）约为 6 kHz。直流增益为 app。1.1。在峰值以上，幅度仅下降 20 dB/dec（由于分子中带有\$a\cdot s\$的带通函数）和最大值。相移达到-90°（由于反相运算放大器，总共为-270°）。
当您将分母\$D(s)\$与一般形式进行比较时，确定极点频率和极点 Q 是一项简单的任务。
注释：当电阻器\$R_2\$连接到 \$R_3\ $和\$R_4\$ 的公共节点（中点）时，您将获得多反馈拓扑中的经典二阶低通。
因此，它不是 Sallen-Key 变体 - 所有 S&K 滤波器都有固定增益级（正增益或负增益）
这不是一个简单的低通滤波器，它是一个负反馈环路中的桥接 T 陷波滤波器，然后是一个 8.7 kHz 单极点低通滤波器。T 网络在电路的频率响应中产生一个峰值。峰的宽度和高度由 C1 与 C2 的比值决定。我已经将这种配置视为低失真振荡器。
请张贴原始电路的链接。