许多文本证明，一个信号不能同时受时间限制和带宽限制。这是一个相当深刻的结果，取决于复杂的分析，但我所知道的最短证明始于带限信号\$f(t)\$。从傅立叶变换可以直接看出，带限意味着\$f(t)\$在整个复平面上是解析的，因此如果它在任何间隔上消失（例如\$f(t) = 0 \mathrm{ ~for~} t>T\$ )，然后它到处消失。因此，带限信号不能是时间限制的。反之亦然。您会在更严格的文本（例如 Papoulis）中找到这些内容。

一个更令人信服的论点是，如果它是带限的，那么你不会通过将频谱乘以矩形窗口来改变它，因此你不会通过与\$\mathrm{sinc}\卷积在时域中改变它$函数 - 这往往会将其传播到您认为包含它的任何时间窗口之外。

您的问题还涉及不连续性和斜率。根据不连续程度的不同，有很多关于滚降率的有用结果。根据记忆，具有阶跃不连续的函数的谱在\$\frac{1}{f}\$处下降，一阶导数中具有阶跃不连续的连续函数为\$\frac{1}{f^ 2}\$等等。函数越平滑（导数越连续），频谱的下降越快，但在时间上也越分散。

有些问题可以从一些严肃的数学中受益。例如，给定信号必须被限制在一定的带宽内，什么波形将大部分信号能量集中到一定的时间间隔内？解决这个问题的方法是长椭球函数——请参阅 Papoulis 的《信号分析》一书。

为什么频率上的单个带限信号具有无限时域

这里的假设是，如果时间是有限的，它可能有一个不连续性，因此如果样本是理想的，那么它可能会有一个无限的上升时间。

但在 BW 受限的实际系统中情况并非如此，因此它被假定为“稳态”。

因此，当使用时间边界和带宽限制分析系统时，通常情况下我们会忽略“稳态”结束时的任何不连续性

这类似于应用了单位阶跃函数的简单低通滤波器。理论上步进可以是无限或有限的上升时间，指数永远不会达到单位电压，但在实际存在公差的情况下，实验持续时间可以在 10 T=10RC 时停止。

在这一点 = 10T 时，残余误差约为 144 PPM，dV/dt 已将上升时间减少到频谱带宽或峰值上升时间 t=0.115%，因此可以以 ~142 倍 -3dB 带宽的方式高精度捕获。

所以理论上是的，你不能同时拥有有限的时间和频谱傅里叶带宽，但如果你有容错能力，你可以同时拥有。

只是为了在此处添加其他答案，精确地数学说明此属性的一种简洁方法是说“ R^n 上紧凑支持的 L^2 函数的傅里叶变换是全纯的，所以---如果非零---是从不紧凑支持“。这是泛函分析中Paley-Wiener 定理的一部分，您可以查找证明。