拉普拉斯和傅里叶变换是连续函数的连续（积分）变换。

拉普拉斯变换将函数映射到复变量s的函数，其中。$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

由于导数映射到，线性微分方程的拉普拉斯变换是一个代数方程。因此，拉普拉斯变换尤其可用于求解线性微分方程。$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

如果我们将复变量s的实部设置为零，，则结​​果是傅里叶变换，它本质上是的频域表示（请注意，这只适用于如果对于的值，获得的拉普拉斯变换的公式存在，即它不会趋于无穷大）。$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Z 变换本质上是拉普拉斯变换的离散版本，因此可用于求解差分方程，即微分方程的离散版本。Z 变换将序列映射到复变量的连续函数。$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

如果我们将z的大小设置为单位，，则结果是离散时间傅里叶变换 (DTFT)，它本质上是的频域表示。$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

拉普拉斯变换可以被认为是 CTFT（连续时间傅里叶变换）的超集。您会看到，在 ROC（收敛区域）上，如果传递函数的根位于虚轴上，即对于 s=σ+jω，σ = 0，如前面的评论中所述，拉普拉斯变换的问题被简化为连续时间傅里叶变换。稍微回顾一下，最好知道当我们有傅立叶变换时，为什么拉普拉斯变换首先会进化。你看，函数（信号）的收敛是傅里叶变换存在的一个强制性条件（绝对可求和），但是在物理世界中也有一些信号不可能有这样的收敛信号。但是，由于分析它们是必要的，我们通过将单调递减的指数 e^σ 乘以它来使它们收敛，这使得它们本质上会聚在一起。这个新的 σ+jω 被赋予了一个新名称“s”，我们经常将其替换为“jω”，以表示因果 LTI（线性时不变）系统的正弦信号响应。在 s 平面中，如果拉普拉斯变换的 ROC 覆盖了虚轴，那么它的傅里叶变换将一直存在，因为信号会收敛。正是这些虚轴上的信号由周期性信号组成 e^jω = cos ωt + j sin ωt（由欧拉）。

同样，z 变换是 DTFT（离散时间傅里叶变换）的扩展，首先，使它们收敛，其次，使我们的生活更轻松。处理 az 比处理 ae^jω 容易（设置 r，圆 ROC 的半径为 untiy）。

此外，对于非因果信号，您更有可能使用傅立叶变换而不是拉普拉斯变换，因为拉普拉斯变换在用作单边（单面）变换时会使生活变得更加轻松。您也可以在两边都使用它们，结果将与一些数学变化相同。

傅里叶变换用于转换/表示频域中的时变函数。

拉普拉斯变换用于在“积分域”中转换/表示时变函数

Z 变换与拉普拉斯变换非常相似，但它们是离散的时间间隔变换，更接近于数字实现。

它们看起来都一样，因为用于转换的方法非常相似。

我将尝试通过基于电路的示例来解释拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的区别。因此，假设我们有一个用已知微分方程描述的系统，例如我们有一个通用的 RLC 电路。还假设使用一个公共开关来打开或关闭电路。现在，如果我们想研究正弦稳态下的电路，我们必须使用傅里叶变换。否则，如果我们的分析包括打开或关闭电路，我们必须对微分方程实施拉普拉斯变换。

换句话说，拉普拉斯变换用于研究系统响应从初始状态到最终正弦稳态的瞬态演变。它不仅包括系统初始状态的瞬态现象，还包括最终的正弦稳态。