我认为您要求对 f(x,y) = x/(x+y) 进行敏感性分析。由于有两个变量，所以我先做一个一般性的分析，然后分别看每个变量的依赖关系。由于您可能不关心代数，因此我尝试在粗体标题后总结每种情况。

坏消息是测量电压的容差可能与预测电压相差甚远，1000000% 或更大的相对误差。好消息是，在合理的情况下，它只能是电阻容差的两倍多，而且通常你可以做得更好。

如果 X 应该是 x，那么有符号的相对误差是 (Xx)/x = dx 和 X = x*(1+dx)。如果 dx 为 1% = 0.01，则 X 为 x*101%，如果 dx 为 -1%，则 X 为 x*99%。换句话说，我们关心 X = x*(1+dx)。

如果 X 是 R1 的电阻，Y 是 R2 的电阻，R1 和 R2 串联 +10V 到地，那么 R1 和 R2 之间的一个探头和另一个接地的探头测量的电压为 f(X, Y) = X/(X+Y)，但它应该是 f(x,y) = x/(x+y)。

如果 x 变为 X=x*(1+dx) 并且 y 变为 Y=y*(1+dy) 则 f(x,y) 变为 f(X,Y)：

x*(1+dx)/( x*(1+dx) + y*(1+dy) )

相对误差为：

E(x,y,dx,dy) = | f(x,y) - f(X,Y) | / f(x,y) = ( x/(x+y) - x*(1+dx)/( x*(1+dx) + y*(1+dy) ) ) / ( x/(x+ y))

这简化为：

精确的相对误差

E(x,y,dx,dy) = y*|dy-dx| / ( X + Y )

这个公式插入值还不错，具体情况分析也不错。

快速对称界

假设 |dx| 和 |dy| 以 0 ≤ e < 100% 为界，其范围为：

E ≤ 2*y*e / ((x+y)*(1-e)) = y/(x+y) * 2 * ( e + e*e + e*e*e + ... )

例如，当 x = R1 = 1K 和 y = R2 = 1K 并且 dx = 1% = 0.01 和 dy = -1% = -0.01 时，您会得到相对误差 E = 1% = 0.01。我给出的界限有点​​宽松，因为它预测为 1.0101...%，但这可能不是什么大不了的事。

大R1

当 R1 与 R2 相比非常大时，相对误差会大大降低。

如果 x → ∞，则 E(x,y,dx,dy) → 0。

它以 1/x 的速度变为零：x*E(x,y,dx,dy) → y*(dx-dy)/(1+dx)。

这并不奇怪：如果您的探头有一个开路，+10V 连接到您的探头，而另一个连接到 R2 的另一个探头接地，那么电流为 0，R2 的两个端子都保持在 +0V，所以您测量 + 10V不管R2的值是多少。

大 R2

当 R2 与 R1 相比非常大时，相对误差可能非常大，但对于 R1 和 R2 的合理公差，E 仅差两倍多一点。

如果 y → ∞，则 r(x,y,dx,dy) → |dx-dy|/(1+dx)。

如果 dy = -dx = 0.10 = 10%，那么你会得到 22% 的错误（多一点棕褐色两倍坏）。

如果 dy = -dx = 0.50 = 50%，则 r = 2 = 200% 相对误差（差的四倍）。

由于 dx → 1 = 100%，r → ∞（无限差）。

如果 |dx| 和 |dy| 以 e < 1 = 100% 为界，则对于较大的 y，r 以 2e/(1-e) 为界，比 e 的两倍大一点。

如果 dy = -dx = 0.01 = 1%，那么你会得到 E = 2*1%/(99%) = 2.0202…% 测量电压的相对误差（差两倍多一点）。

如果 dy = -dx = 0.001 = 0.1%，那么你会得到 2*0.1%/(99.9%) = 0.2002002…% 的相对误差（差的两倍多一点）。

不对称公差

如果 R2 非常准确并且 R1 ≈ R2，那么误差最多只有一半多一点。

如果 dy = 0，则 E = dx*y / ( X + y )，如果 x = y，则 E = dx/(2+dx)。

如果 -dx = 0.01%，则 E = 0.01 / 1.99 = 0.005025… = 0.5025…%（差一半多一点）。

任何两个容差至少相差 5 倍（如 5% 与 1%），因此作为粗略的近似值，您可以忽略较小的容差的影响。这意味着在公差范围的边缘，分压器中间的电压将关闭一个百分比，该百分比大约等于较大公差的一半。

请注意，仅当两个电阻具有相似的幅度时才适用，例如您的 1k 示例。如果分压器由一个 1k 和一个 100k 电阻器组成，则较大电阻器中的误差可能会使较小电阻器相形见绌。

如果您有一堆具有不同容差的组件，您可以进行蒙特卡罗分析以查看最坏情况的风险类型，以及可能的情况是什么，因为不可能每个组件都处于最坏的情况。这将变得尽可能详细。

对于不同的公差没有经验法则。

假设 R2 在 Vout 和 GND 之间。

您上面的数学仅适用于 R1=R2。也就是说，当 R1=R2 都具有相同的容差时，您的输出的容差等于电阻容差。当 R1 != R2 且每个电阻器的容差相等时，随着 R1 与 R2 的比率增加，总误差以对数方式接近单个电阻器容差的 200%。如果 R1 比 R2 大 100 倍，则输出容差大约是单个电阻容差的两倍。我将把倒数留给你计算。

现在，如果输出容差不相等，您在等式中添加了一个附加变量。您将查看多维方程并尝试定位最大值和最小值以确定 Vout 容差，这并非易事。因此，对两个电阻器使用相同的容差。