不要使用正态近似

关于这个问题已经写了很多。一般建议是永远不要使用正态近似（即渐近/Wald 置信区间），因为它具有可怕的覆盖特性。用于说明这一点的 R 代码：

library(binom)
p = seq(0,1,.001)
coverage = binom.coverage(p, 25, method="asymptotic")$coverage
plot(p, coverage, type="l")
binom.confint(0,25)
abline(h=.95, col="red")

对于较小的成功概率，您可能会要求 95% 的置信区间，但实际上会得到 10% 的置信区间！

建议

那么我们应该使用什么呢？我相信当前的建议是Brown、Cai 和 DasGupta 在Statistical Science 2001 卷中的二项式比例的区间估计一文中列出的建议。16，没有。2，第 101-133 页。作者检查了几种计算置信区间的方法，并得出以下结论。

[W]e 建议对于较小的n使用 Wilson 区间或等尾 Jeffreys 先验区间，对于较大的n建议使用 Agresti 和 Coull 中的区间。

威尔逊区间有时也称为分数区间，因为它基于反转分数测试。

计算间隔

要计算这些置信区间，您可以使用此在线计算器或 R 包中的binom.confint()函数binom。例如，对于 25 次试验中的 0 次成功，R 代码将是：

> binom.confint(0, 25, method=c("wilson", "bayes", "agresti-coull"),
  type="central")
         method x  n  mean  lower upper
1 agresti-coull 0 25 0.000 -0.024 0.158
2         bayes 0 25 0.019  0.000 0.073
3        wilson 0 25 0.000  0.000 0.133

这bayes是杰弗里斯区间。（type="central"需要参数来获得等尾区间。）

请注意，在计算间隔之前，您应该决定要使用三种方法中的哪一种。三个都看，选择最短的自然会给你太小的覆盖概率。

一个快速、近似的答案

最后一点，如果您在n次试验中观察到零成功并且只想要一个非常快速的近似置信区间，您可以使用三规则。只需将数字 3 除以n即可。在上面的例子中， n是 25，所以上限是 3/25 = 0.12（下限当然是 0）。

Agresti (2007, pp.9-10) 表明，当比例接近 0 或 1 时，置信区间$p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{p(1-p)/n}$表现不佳。相反，使用“具有显着性检验的对偶...... [即] 由$\pi_0$对于判断为合理的零假设参数，”其中$\pi_0$是未知参数。通过求解来做到这一点$\pi_0$在等式中