考虑一个随机变量$X$. 我们知道$X$只不过是一个可测量的函数$\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$进入$\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$， 在哪里$\mathcal{B}(\mathbb{R})$是实线的 Borel 集。根据可测量性的定义，我们知道我们有

$$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$$

但在实践中，Borel 集的原像可能不是全部$\mathcal{A}$但相反，它们可能构成它的一个更粗略的子集。为了看到这一点，让我们定义

$$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$$

使用原像的属性，不难证明$\mathcal{\Sigma}$是一个 sigma 代数。紧随其后的是$\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$， 因此$\mathcal{\Sigma}$是一个 sub-sigma 代数。此外，通过定义很容易看出映射$X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$是可测量的。 $\mathcal{\Sigma}$实际上是最小的 sigma 代数$X$一个随机变量，因为所有其他此类 sigma 代数至少包括$\mathcal{\Sigma}$. 因为我们正在处理随机变量的原像$X$， 我们称之为$\mathcal{\Sigma}$由随机变量诱导的 sigma 代数$X$.

这是一个极端的例子：考虑一个恒定的随机变量$X$， 那是，$X(\omega) \equiv \alpha$. 然后$X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$等于$\Omega$或者$\varnothing$取决于是否$\alpha \in B$. 这样生成的 sigma 代数是微不足道的，因此，它肯定包含在$\mathcal{A}$.

希望这可以帮助。

我将尝试从一个不同的角度来说明直觉，技术上不太详细。

假设 4 个随机变量$X_1,X_2,X_3$和$Y=f(X_1,X_2)$对于任意函数$f$. 请注意$Y$是随机的，但完全确定为固定的$X_1, X_2$， 尽管$X_3$未确定为固定$X_1, X_2$. 换句话说，

随机性$Y$完全是由于$X_1$和$X_2$.

我们可以在不引用函数的情况下正式表达吗$f$?

这正是$\sigma$- 由随机变量捕获生成的代数。非正式地，我们可以说$\sigma(X)$将世界的概率限制为公正$X$，禁用任何其他随机性来源。在上面的例子中，$\sigma((X_1,X_2))$包含$\sigma(Y)$（或者$Y$是$\sigma((X_1,X_2))$-measurable)，因为随机性$(X_1,X_2)$包含随机性$Y$. 反之亦然，仅当$f$是一对一的映射。