一个很好的直觉是，我们现在处于 B 出现的宇宙中，即整个圆圈。在那个圆圈中，A 也是多少？

Marc Herman 在课堂上提供了这种直观的解释

https://people.math.rochester.edu/faculty/herman/

我会这样想：我理所当然地认为你理解直觉，直到：

鉴于 B 已经发生，A 发生的唯一方法是让偶数落在 A 和 B 的交点处。

我要评论你发布的第二张图片：

1. 想象整个白色矩形是您的样本空间。$\Omega$

   将概率分配给一组意味着您在某种意义上正在测量该组。这与您测量矩形的面积相同，但概率是具有特定属性的不同类型的度量（我不会对此多说）。

2. 您知道，它的解释如下：$P(\Omega) = 1$

   $\Omega$代表所有可能发生的事件和必须发生的事情，因此我们有 100% 的概率发生某事。

3. 类似地，集合的概率与样本空间的概率成正比。从图形上讲，您看到的度量（其概率）必须小于。同样的推理对集合是有效的。这个集合是可以测量的，它的度量是。$A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. 如果现在你被告知已经发生，你必须认为B你的“新”。如果是你的“新”那么你可以 100% 确定一切都发生在集合中。$B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   那是什么意思？这意味着现在，在“新”竞赛中，您必须重新调整所有概率度量，考虑到它们必须用“新”样本空间表示. 这是一个简单的比例。$P(B \mid B) =1$$B$

   当您这么说时，您的直觉几乎是正确的：

P(A | B) 的概率将简单地等于 A 相交 B 的概率

并且“几乎”是由于现在您的样本空间已经改变（现在是）并且您想要相应地重新调整。$B$$P(A \cap B)$

5. $P(A \mid B)$是您的新世界中的。换句话说，您会这样说（并请尝试在带有集合的图像上将其可视化）：$P(A \cap B)$$B$

   在新世界中，的度量与的度量之比必须与的度量与$B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. 最后用数学语言翻译这个（简单的比例）：

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

并且由于 ，因此得出：$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

你会很容易地看到直觉思考以下问题。

假设您有 10 个球：6 个黑色和 4 个红色。黑球中有 3 个很棒，而红球中只有 1 个很棒。黑球也很棒的可能性有多大？

答案很简单：50%，因为在总共 6 个黑球中，我们有 3 个 Awesome Black 球。

这就是您如何将概率映射到我们的问题：

• 3 个黑球 AND Awesome 对应于$P(A \cap B)$
• 6个黑球对应$P(B)$
• 当我们知道它是黑球时，它是真棒的概率：$P(A\mid B)$

对于条件概率公式的基本直觉，我总是喜欢使用双向表。假设一个年级有 150 名学生，其中 80 名女性和 70 名男性，每个人必须学习一门语言课程。学习不同课程的学生的双向表是：

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

假设一个学生上意大利语课程，他们是女性的概率是多少？那么意大利语课程有60名学生，其中40名是学习意大利语的女性，所以概率必须是：

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

其中是集合的基数，即它包含的项目数。请注意，我们需要在分子中使用而不仅仅是，因为后者将包括所有 80 名女性，包括其他 40不学习意大利语的人。$n(A)$$A$$n(\text{F} \cap \text{Italian})$$n(\text{F})$

但是，如果问题反过来，考虑到学生是女性，他们参加意大利语课程的概率是多少？然后 80 名女学生中有 40 名参加了意大利语课程，所以我们有：

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

我希望这可以直观地解释为什么

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

理解为什么分数可以写成概率而不是基数是等价分数的问题。例如，让我们回到学生是女性的概率，因为他们正在学习意大利语。总共有 150 名学生，所以一个学生是女性并且学习意大利语的概率是 40/150（这是一个“联合”概率），一个学生学习意大利语的概率是 60/150（这是一个“边际”概率）。请注意，将联合概率除以边际概率得出：

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

（要看到分数是等价的，将分子和分母乘以 150 会删除每个分数中的“/150”。）

更一般地说，如果你的采样空间有基数 ——在这个例子中，基数是 150——我们发现$\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$