让。$X\sim U(-1,1)$

让。$Y=X^2$

这些变量是不相关但相互依赖的。

或者，考虑一个离散的双变量分布，该分布由 3 个点 (-1,1),(0,-1),(1,1) 的概率组成，概率分别为 1/4、1/2、1/4。那么变量是不相关的但相互依赖的。

考虑在菱形（旋转 45 度的正方形）中均匀分布的双变量数据。这些变量将不相关但相互依赖。

这些是我能想到的最简单的情况。

我认为一些简单反例的本质可以从以零为中心的连续随机变量开始，即。假设形式的区间上，其中。现在假设某个函数。我们现在问一个问题：对于什么样的函数我们可以有？$X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$$Cov(X,f(X))=0$

我们知道。我们假设直接导致。通过的 pdf ，我们有$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$。

我们希望，实现此目的的一种方法是确保是偶函数，这意味着是奇函数。然后遵循，因此。$Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$$Cov(X,f(X))=0$

这样，我们可以看到的精确分布并不重要，因为 pdf 围绕某个点对称，并且任何偶函数都可以定义。$X$$f(\cdot)$$Y$

希望这可以帮助学生了解人们如何提出这些类型的反例。

我们可以用$X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

然后定义$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

可以很容易地验证和不相关但不独立。$X$$Y$

成为反例（即勤奋的学生）！照这样说：

我试图想一个现实世界的例子，这是我想到的第一个例子。这不是数学上最简单的情况（但如果你理解了这个例子，你应该能够找到一个更简单的例子，比如骨灰盒和球之类的）。

根据一些研究，男性和女性的平均智商相同，但男性智商的方差大于女性智商的方差。具体来说，假设男性智商如下$N(100, \sigma^2)$女性智商紧随其后$N(100, \alpha \sigma^2)$和$\alpha<1$. 一半人口是男性，一半人口是女性。

假设这项研究是正确的：

性别和智商有什么关系？

性别和智商是独立的吗？