让两个向量$a$和$b$，角度由标量积和向量的范数获得：$θ$

由于值在范围内：$cos(\theta)$$[-1,1]$

• $-1$值表示强烈相反的向量
• $0$个独立（正交）向量
• $1$相似（正共线）向量。中间值用于评估相似程度。

示例：让两个用户和，以及这两个用户之间的相似度根据他们对电影的喜好：$U_1$$U_2$$sim(U_1, U_2)$

• $sim(U_1, U_2) = 1$如果两个用户的口味完全相同（或者如果 ）$U_1 = U_2$
• $sim(U_1, U_2) = 0$如果我们没有找到两个用户之间的任何相关性，例如如果他们没有看过任何常见的电影
• $sim(U_1, U_2) = -1$如果用户有相反的口味，例如，如果他们以相反的方式评价相同的电影

不要使用绝对值，因为负号不是任意的。要获取 0 到 1 之间的余弦值，您应该使用以下余弦函数：

（R代码）

cos.sim <- function(a,b) 
{
  dot_product = sum(a*b)
  anorm = sqrt(sum((a)^2))
  bnorm = sqrt(sum((b)^2))
  minx =-1
  maxx = 1
  return(((dot_product/anorm*bnorm)-minx)/(maxx-minx))
} 

（Python代码）

def cos_sim(a, b):
    """Takes 2 vectors a, b and returns the cosine similarity according 
to the definition of the dot product"""
    dot_product = np.dot(a, b)
    norm_a = np.linalg.norm(a)
    norm_b = np.linalg.norm(b)
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

minx = -1 
maxx = 1

cos_sim(row1, row2)- minx)/(maxx-minx)
```

余弦相似度就像皮尔逊相关，但没有减去均值。因此，您可以通过查看绝对值来比较 2 个余弦相似度的相对强度，就像比较 2 个 Pearson 相关性的绝对值一样。

频率向量之间的余弦相似度不能为负是正确的，因为字数不能为负，但是使用词嵌入（例如手套）可以有负值。

Word-embedding 构造的简化视图如下：将每个单词分配给 R^d 中的随机向量。接下来运行一个优化器，尝试将两个相似的向量 v1 和 v2 推得更近，或者将两个不同的向量 v3 和 v4 拉得更远（根据一定的距离，比如余弦）。您运行此优化以进行足够的迭代，最后，您拥有词嵌入，其唯一标准是相似词具有更接近的向量而不同的向量相距更远。最终结果可能会给您留下一些维度值是负数，而一些对具有负余弦相似性——仅仅是因为优化过程不关心这个标准。它可能已经将一些向量很好地推到了负值中。向量的维度与字数不对应，