想象一下，你在 1654 年的巴黎，你和你的朋友正在观察一个基于连续滚动六面骰子的赌博游戏。现在，赌博是高度非法的，宪兵的破案也很频繁，被抓到桌上堆满了 livre 几乎肯定会保证在伊夫城堡呆很长时间。

为了解决这个问题，你和你的朋友在最后一次掷骰前就你们两个人之间的赌注达成了君子协议。如果您在接下来的五次骰子中发现两个六，他同意支付您 5 里弗，如果掷出两个骰子，您同意支付相同的金额，如果这些组合没有出现，则不采取其他行动。

现在，最后一个骰子是六，所以你在座位的边缘，形象地说。就在这时，全副武装的守卫冲进了巢穴，将桌边的所有人都抓了起来，人群散去。

您的朋友认为你们两人之间的赌注现已无效。但是，您认为他应该付给您一些金额，因为已经掷出一个六。有什么公平的方式来解决你们两个之间的争端？

（这是我对此处提出的期望值的起源的解释，并在此处进行了更详细的讨论）

让我们以一种不严谨的方式回答这个公允价值问题。您的朋友应该支付给您的金额可以通过以下方式计算。考虑所有可能的四个骰子。一些卷（即包含至少一个六）将导致您的朋友支付约定的金额。但是，在其他套装（即不包含单个六的套装）上，您将无法获得任何款项。你如何平衡这两种滚动发生的可能性？简单，将您在所有可能的滚动中获得的金额平均。

但是，您的朋友（不太可能）仍然可以赢得他的赌注！您必须考虑在剩余的四个骰子中掷出两个骰子的次数，并将您支付给他的金额与所有可能掷出的四个骰子的数量相加。这是您应该为朋友的赌注支付的合理金额。因此，您最终得到的金额是您的朋友应该付给您的金额，减去您应该付给朋友的金额。

这就是我们称之为“期望值”的原因。如果您能够模拟在多个同时发生的宇宙中发生的事件，这是您期望收到的平均金额。

很好的问题。它比起初看起来更微妙。它与随机事件和随机变量（数字，值）有关。您的困惑源于将这两个相关但不同的概念混合在一起。

让我们从一个事件开始。从您提出问题的方式来看，您似乎考虑了掷骰子事件的结果。正如您所写，它是随机的，因此您可能会以均等的机会获得它的六个面之一。这很有意义。

这个实验的期望值是多少？期望是为随机变量（值）而不是事件定义的。对你来说，骰子上的数字 1 到 6 只是区分它的边的方法（在你的问题表述的背景下）。想象一下，您改为使用字母：A、B、C、D、E 和 F。用字母替换数字并重复您的问题，如下所示：

换句话说，当被问到“掷出一个公平的 6 面骰子的期望值是多少？”时，人们应该回答“哦，它可以是 A 和 F 之间的任何东西，机会均等”

现在尝试提出一个期望值。它没有定义！

当您定义随机值（例如 1 到 6）时，预期会出现。您将值映射到事件空间，例如，您定义 A 面为 1，B 面为 2 等。现在您有 6 个数字，可以计算期望值，恰好是 3.5。

“每个值均等可能”或“某些值最可能”是模式的定义，而不是预期值。

想象一下，我们正在玩抛硬币游戏。每次我抛头，我给你1美元，每次我抛尾，你给我1美元。从长远来看，你预计会赢或输多少钱？数量相等，抛出它们的概率相等，期望值为零。

之所以这样称呼期望值，是因为如果您平均所有掷骰子，您希望从长远来看会得到这个期望值。期望值与任何单个掷骰子无关。