概率模型由三元组组成$(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$， 在哪里$\Omega$是样本空间，${\mathcal F}$是一个$\sigma$−代数（事件）和${\mathbb P}$是一个概率测度${\mathcal F}$.

直观的解释。概率模型可以解释为已知的 随机变量 $X$. 例如，让$X$是具有均值的正态分布随机变量$0$和方差$1$. 在这种情况下，概率测度${\mathbb P}$与累积分布函数(CDF)相关联$F$通过

$$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$$

概括。概率模型的定义取决于概率的数学定义，例如参见自由概率和量子概率。

统计模型 是一个集合${\mathcal S}$概率模型，这是样本空间上的一组概率度量/分布$\Omega$.

通常选择这组概率分布来对我们有数据的某种现象进行建模。

直观的解释。在统计模型中，描述某种现象的参数和分布都是未知的。这方面的一个例子是具有均值的正态分布族$\mu\in{\mathbb R}$和方差$\sigma^2\in{\mathbb R_+}$，也就是说，这两个参数都是未知的，您通常希望使用数据集来估计参数（即选择${\mathcal S}$）。这组分布可以在任何$\Omega$和${\mathcal F}$，但是，如果我没记错的话，在一个真实的例子中，只有那些在同一对上定义的$(\Omega,{\mathcal F})$是合理的考虑。

概括。本文提供了一个非常正式的统计模型定义，但作者提到“贝叶斯模型需要先验分布形式的附加组件……尽管贝叶斯公式不是本文的主要重点”。因此统计模型的定义取决于我们使用的模型类型：参数或非参数。同样在参数设置中，定义取决于如何处理参数（例如经典与贝叶斯）。

不同之处在于：在概率模型中，您确切地知道概率度量，例如$\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$， 在哪里$\mu_0,\sigma_0^2$是已知参数。例如，在统计模型中，您会考虑一组分布$\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$， 在哪里$\mu,\sigma^2$是未知参数。

它们都不需要数据集，但我会说通常选择统计模型来建模。