您的第三项是我见过的最常用的严格定义。

其他的也很有趣（+1）。特别是第一个很有吸引力，由于样本量尚未（尚未）定义，因此很难定义“来自”集合。

对我来说，可能性的基本直觉是它是模型 + 其参数的函数，而不是随机变量的函数（这也是教学目的的重要一点）。所以我会坚持第三个定义。

符号滥用的根源在于可能性的“来自”集合是隐含的，这通常不是定义明确的函数的情况。在这里，最严格的方法是意识到在转换之后，可能性与另一个模型相关。它相当于第一个，但仍然是另一个模型。所以似然符号应该显示它指的是哪个模型（通过下标或其他）。我当然从不这样做，但为了教学，我可能会这样做。

最后，为了与我之前的答案保持一致，我在你的最后一个公式中$\theta$

我想我会称之为不同的东西。值的观测 x 的概率密度，表示为给定函数。我不同意比例常数的观点。我认为这只会发挥作用，因为最大化似然的任何单调函数会为提供相同的解决方案。所以你可以最大化对于或其他单调函数，例如这通常是这样做的。$θ$$θ$$x$$θ$$cL(θ∣x)$$c>0$$\log(L(θ∣x))$

这是一个严格的数学定义的尝试：

令是一个随机向量，它承认关于上的某个度量，其中对于，是上关于的密度族。然后，对于任何，我们将似然函数定义为；为清楚起见，对于每个我们都有。可以认为是一种特殊的势$X: \Omega \to \mathbb R^n$$f(x | \theta_0)$$\nu$$\mathbb R^n$$\theta \in \Theta$$\{f(x|\theta): \theta \in \Theta\}$$\mathbb R^n$$\nu$$x \in \mathbb R^n$$L(\theta | x)$$f(x | \theta)$$x$$L_x : \Theta \to \mathbb R$$x$$x_{obs}$和是的“真实”值。$\theta_0$$\theta$

关于这个定义的一些观察：

1. 该定义足够健壮，可以处理的离散、连续和其他类型的分布族。$X$
2. 我们在密度函数级别而不是在概率分布/度量级别定义似然性。这样做的原因是密度不是唯一的，事实证明，这不是一种可以传递到密度的等价类并且仍然安全的情况：在连续情况下，不同的密度选择会导致不同的 MLE。然而，在大多数情况下，理论上可以自然选择密度族。
3. 我喜欢这个定义，因为它包含了我们正在使用的随机变量，并且通过设计，因为我们必须为它们分配一个分布，我们还严格建立了的“真实但未知”值的概念，这里表示。对我来说，作为一名学生，严格似然的挑战始终是如何将“真实”和“观察到的”的真实世界概念与数学相协调；讲师声称这些概念不正式，然后在证明事情时转身并正式使用它们，这通常无济于事！所以我们在这个定义中正式处理它们。$\theta$$\theta_0$$\theta$$x_{obs}$
4. 编辑：当然，我们可以自由地考虑通常的随机元素，和并且在这个定义下，严格性没有真正的问题只要你小心（或者即使你不小心，如果那种严格程度对你来说并不重要）。$L(\theta | X)$$S(\theta | X)$$\mathcal I(\theta | X)$