均值 = 众数并不意味着对称。

即使均值 = 中值 = 众数，您仍然不一定具有对称性。

并且期待潜在的后续行动——即使 mean=median=mode并且第三个中心矩为零（因此矩偏度为 0），您仍然不一定具有对称性。

......但有一个后续行动。NickT 在评论中询问是否让所有奇数时刻为零就足以要求对称性。答案是否定的。[见最后的讨论。]$^\dagger$

对称性暗示了这些不同的事物（假设相关时刻是有限的），但暗示并没有相反——尽管许多基本文本清楚地说明了其中一个或多个。

反例构建起来非常简单。

考虑以下离散分布：

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

它的均值、中值、众数和第三中心矩（因此矩偏度）都为 0，但它是不对称的。

这种例子也可以用纯粹的连续分布来完成。例如，这是一个具有相同属性的密度：

这是对称三角形密度（每个范围为 2）的混合，平均值为 -6、-4、-3、-1、0、1、2、5，混合权重为 0.08、0.08、0.12、0.08、0.28、0.08 , 0.08, 0.20。我现在才做这个的事实——以前从未见过它——表明这些案例的构建是多么简单。

[我选择了三角形混合分量，以使模式在视觉上不会产生歧义——本来可以使用更平滑的分布。]

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这是一个额外的离散示例，用于解决 Hong Ooi 的问题，即这些条件允许您获得多远的对称性。这绝不是一个限制情况，它只是说明制作一个不太对称的例子很简单：

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

在不改变条件的情况下，可以使 0 处的尖峰相对更高或更低；同样，右侧的点可以放置得更远（概率降低），而不会改变 1 和 -2 处的相对高度（即，当您移动最右边时，它们的相对概率将保持接近 2:1 的比率关于元素）。

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有关对 NickT 问题的答复的更多详细信息

$\dagger$在现场的许多问题中都解决了所有奇怪的零时刻的情况。这里有一个示例（参见图表），基于此处的详细信息（参见答案末尾）。这是一个连续的单峰不对称密度，所有奇数矩均为 0，均值 = 中值 = 众数。50-50 混合构造的中位数为 0，检查时众数为 0——构建示例的实半线上的所有家庭成员的密度从原点的有限值单调递减, 均值为零，因为所有奇数时刻都为 0。

试试这组数字：

$$\begin{align} X &= \{2,3,5,5,10\} \\[10pt] {\rm mean}(X) &= 5 \\ {\rm median}(X) &= 5 \\ {\rm mode}(X) &= 5 \end{align}$$

我不会称这种分布是对称的。

不。

设为离散随机变量， , , . 显然，不是对称的，但其均值和众数均为 0。$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

重复我在其他地方给出的答案，但也适合这里：

$$\mathbb{P}(X=n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0.03 & n=-3 \\ 0.04 & n=-2 \\ 0.25 & n=-1 \\ 0.40 & n=0 \\ 0.15 & n=1 \\ 0.12 & n=2 \\ 0.01 & n=3 \end{array} \right.$$

它不仅具有均值、中值和众数都相等，而且具有零偏度。许多其他版本是可能的。