机器算法验证 - 如果 X 和 Y 不相关，那么 X^2 和 Y 是否也不相关？ - 吾爱随笔录 - 问答

如果 X 和 Y 不相关，那么 X^2 和 Y 是否也不相关？

机器算法验证随机变量独立

2022-01-24 01:25:42

如果两个随机变量和不相关，我们还能知道和不相关吗？我的假设是肯定的。 $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ 不相关意味着，或 $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

这是否也意味着以下？

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

3个回答

不，反例：

让均匀分布在上，。 $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

然后并且（是奇函数），所以是不相关的。 $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

但是 $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

最后一个不等式来自 Jensen 不等式。这也源于的事实，因为不是常数。 $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

你推理的问题是可能取决于，反之亦然，所以你的倒数第二个相等是无效的。 $f_X$ $y$

即使，和不仅可能相关，而且它们甚至可能完全相关，与： $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

或： $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

如果您无法阅读R 代码，则第一个示例等效于考虑两个随机变量和具有联合分布，使得很可能是、或。在完全负相关的例子中，同样可能是、或。 $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

尽管如此，我们也可以构造和使得，所以所有极端都是可能的： $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

你推理的错误是你写了关于的以下内容：而通常如果，即如果和独立，则两者重合。不相关是独立的必要条件，但不是充分条件。因此，如果两个变量和不相关但相互依赖，则和可能相关。 $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

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